Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

  1. Uma nova regra de derivação foi deduzida nesse tópico: a derivada da função inversa. A tabela da esquerda representa três formas de escrever a mesma regra, apenas em notações diferentes. A tabela da direita apresenta a derivada das inversas das funções seno, cosseno e tangente (já com a regra da cadeia embutida).

Utilize a tabela para determinar a derivada das funções abaixo.

  1. f x = arcsin ⁡ 3 x + 1 x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função arcosseno para derivar. E o enunciado, nos forneceu uma colinha de como podemos fazer essa derivada, já com a regra da cadeia aplicada:

f x = arcsin ⁡ u → f ' x = u ' 1 - u 2

A nossa função é,

arcsin ⁡ 3 x + 1 x

Ou seja, temos que

u = 3 x + 1 x

Então agora é só aplicar!

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada de u . Para isso, vamos usar a regra do quociente. Fica assim:

u ' = 3 x + 1 ' x - 3 x + 1 x ' x 2

Derivando,

u ' = 3 x - 3 x + 1 x 2 = - 1 x 2

Agora vamos substituir na derivada da nossa f x .

Passo 3

Tinhamo que,

f ' x = u ' 1 - u 2

Substituindo,

f ' x = - 1 x 2 1 - 3 x + 1 x 2

f ' x = - 1 x 2 1 - 3 x + 1 x 2

Resposta

f ' x = - 1 x 2 1 - 3 x + 1 x 2

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