Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

  1. Calcule a derivada da funçã f x em cada um dos itens abaixo:
  1. f x = x cos ⁡ x
  2. f x = tan ⁡ x x 3
  3. f x = arctan ⁡ x 9

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa derivada vamos ter que fazer uma mudancinha na cara dela!
  2. Repara que temos x no base e x no expoente (dentro o cosseno). Quando a função tiver essa cara, vamos aplicar uma propriedade de logaritmo:

    b l o g b M = M

    Que pra logaritmo natural, fica assim:

    e l n ⁡ ( M ) = M

    Usando essa propriedade, podemos rescrescer nossa função assim:

    Repara que temos x no base e x no expoente (dentro o cosseno). Quando a função tiver essa cara, vamos aplicar uma propriedade de logaritmo e rescrescer a função assim,

    f x = x cos ⁡ x = e cos ⁡ x ln ⁡ x

    Agora ela fica mais fácil de resolver! Bora lá!

    Passo 2

    Para resolver a derivada,

    y = e cos ⁡ x ln ⁡ x

    Vamos utilizar a regra da cadeia, que diz:

    y = f g x → y ' = g ' x f ' g x

    Fazendo a correlação com a regra da cadeia temos que

    f x = e x

    g x = cos ⁡ x ln ⁡ x

    Aplicando a regra da cadeia ficamos com,

    y ' = cos ⁡ x ln ⁡ x ' e cos ⁡ x ln ⁡ x

    Passo 3

    Agora temos que resolver a parte cos ⁡ x ln ⁡ x ' e para isso vamos usar a regra do produto!

    Então fica assim,

    g ' x = - sin ⁡ x ln ⁡ x + cos ⁡ x x

    Logo, minha derivada será

    y ' = sin ⁡ x ln ⁡ x + cos ⁡ x x e cos ⁡ x ln ⁡ x

    Mas lembra que lá no Passo 1, fizemos que

    f x = x cos ⁡ x = e cos ⁡ x ln ⁡ x

    Então substituindo, temos que

    f ' x = x cos ⁡ x sin ⁡ x ln ⁡ x + cos ⁡ x x

    Passo 4

  3. Para resolver,
  4. y = tan ⁡ x x 3

    Vamos usar a regra do quociente, que diz

    y = f x g x → y ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

    Fazendo a correlação com a função que nos foi dada ficamos com

    f x = tan ⁡ x → f ' x = sec 2 ⁡ x

    g x = x 3 → g ' x = 3 x 2

    Substituindo na regra do quociente, ficamos com,

    y ' = ( sec 2 ⁡ x )   x 3 - tan ⁡ x 3 x 2 x 3 2

    Simplificando,

    y ' = x ( sec 2 ⁡ x )   - tan ⁡ x x 4  

    Passo 5

  5. Por fim, chegamos na nossa última derivada

y = arctan ⁡ x 9

Aqui vamos aplicar a regra da cadeia de novo! Onde,

f x = arctan ⁡ x → f ' x = 1 x 2 + 1

g x = x 9 → g ' x = 9 x 8

Substituindo ficamos com

y ' = 9 x 8 1 x 9 2 + 1

y ' = 9 x 8 x 18 + 1

Resposta

  1. f ' x = x cos ⁡ x sin ⁡ x ln ⁡ x + cos ⁡ x x
  2. f ' x = x ( sec 2 ⁡ x )   - tan ⁡ x x 4  
  3. f ' x = 9 x 8 x 18 + 1

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