Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Determine a derivada das funções abaixo

l )   f x = c o t g   x

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = c o t g   x

E pediu a derivada!

Até agora só conhecemos a derivada de seno e cosseno, mas e da cotangente? Bom! O primeiro passo é reescrever essa função em termos de seno e cosseno! Assim transformamos uma função que a gente (ainda) não conhece a derivada em uma com funções cuja derivada a gente já manja!

Precisamos lembrar que a função cotangente é o inverso da tangente! Assim

c o t g x = cos ⁡ x s e n x

Aí nossa função fica assim

f x = cos ⁡ x s e n x

Assim que você olhar uma função que tem uma divisão precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE!

A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.

Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções f g ' :

h g ' = h ' g - g ' h g 2

f e g no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do produto

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função em termos do cosseno e do seno é

f x = cos ⁡ x s e n x

Podemos dizer que em cima temos h = cos ⁡ x e embaixo g = s e n x

E a derivada do quociente de funções é

f ' = h g ' = h ' g - g ' h g 2

As derivadas de h e g são:

h = cos ⁡ x         ;         h ' = - s e n   x

g = s e n x       ;       g ' = cos ⁡ x

Agora é só aplicar na regra do quociente:

f ' = h ' g - g ' h g 2 = - s e n x . s e n x - cos ⁡ x cos ⁡ x s e n 2 x = - ( s e n 2 x + cos 2 ⁡ x ) s e n 2 x  

Mas da relação fundamental da trigonometria s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , assim nossa derivada fica ainda mais simples:

f ' = - 1 s e n 2 x

Tranquilo?

Passo 3

Mas agora nos resta simplificar essa expressão final, não que o resultado esteja errado, mas para você ter uma fórmula para a derivada da secante em termos das funções trigonométricas, sem envolver uma divisão

Para isso vamos lembrar que

c o s s e c   x = 1 s e n   x

Aí nosso resultado pode ser reescrito em termos da cossecante:

f ' = - 1 s e n 2 x = - c o s s e c 2 x

Pronto! Descobrimos a derivada da cotangente:

f = c o t g x

f ' = - c o s s e c 2 x

E agora você pode usar sempre que precisar! Não precisa mais abrir no quociente, pode se jogar nessa fórmula!

Resposta

f ' = - c o s s e c 2 x

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