Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 . a 16 . (se for conveniente, use derivação logarítmica)

8 .   f ( x ) = l n ( x x 2 + 1 )

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

f ( x ) = l n ( x x 2 + 1 )

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada

d d x [ l n ( x ) ] = 1 x

quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!

Passo 2

Primeira coisa, temos uma função que é produto entre duas funções, da forma f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , normalmente, usamos a regra do produto, mas e se no lugar usarmos a seguinte propriedade do logaritmo

l n [ g ( x ) h ( x ) ] = l n [ g ( x ) ] + l n [ h ( x ) ]

identificando que g ( x ) = e x e h ( x ) = l n ( x ) , temos

f ( x ) = l n [ x ] + l n [ x 2 + 1 ]

Se derivarmos de ambos os lados, podemos usar a derivada logarítmica que apresentei no passo 1 para escrever que

d d x [ f ( x ) ] = d d x [ l n ( x ) ] + d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ] = 1 x + d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ]

A outra derivada irá precisar da regra da cadeia! Saca só!

Passo 3

Temos uma função composta da forma f ( x ) = g ( h ( x ) ) , portanto devemos derivá-las usando que

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

identificando que g ( h ) = l n ( h ) e que h ( x ) = x 2 + 1 , temos que

d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ] = d d h [ l n [ h ] ] d d x [ x 2 + 1 ]

usando a derivada logarítmica que apresentei no passo 1 podemos escrever que

d d h [ l n [ h ] ] = 1 h = 1 x 2 + 1

Para a outra derivada teremos que aplicar a regra da cadeia novamente! Saca só!

Passo 4

TEmos que calcular a seguinte derivada

d d x [ x 2 + 1 ]

identificando em nossa regra cadeia que temos g ( h ) = h = h 1 / 2 e h ( x ) = x 2 + 1 , podemos usar a regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

para escrever que

d d x [ x 2 + 1 ] = d d h [ h 1 / 2 ] d d x [ x 2 + 1 ] = x   x 2 + 1  

juntando com os resultados do passo anterior, temos que

d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ] = d d h [ l n [ h ] ] d d x [ x 2 + 1 ] = 1   x 2 + 1 x x 2 + 1

que pode ser simplificado para

d d x [ l n ( x 2 + 1 ) ] = x ( x 2 + 1 )

Ou seja, temos que

d d x [ f ( x ) ] = 1 x + x   ( x 2 + 1 ) = ( x 2 + 1 ) + x 2 x ( x 2 + 1 )

ou simplesmente

d d x [ f ( x ) ] = 2 x 2 + 1 x ( x 2 + 1 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ f ( x ) ] = 2 x 2 + 1 x ( x 2 + 1 )

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