Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

2) Seja

f x = 1 - cos ⁡ 2 x

Considere D o m f = π 2 , π

  1. Mostre que a função f é inversível em todo o seu domínio
  2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f - 1 (a inversa de f ) em x = 1 . Dica: não é necessário determinar f - 1 x
  3. Determine o domínio de f - 1 e uma expressão para f - 1

Passo 1

Bem, pelo enunciado já deu pra ver que vamos usar o Teorema da Função Inversa o tempo todo né? Uma coisa maneira que o TFI diz pra gente é o seguinte

S e   f x   é   d e r i v á v e l   e   f ' x ≠ 0   ,   e n t ã o   f x   é   i n v e r s í v e l

Bem, f x é derivável! Afinal, é uma função contínua. Sua derivada vai ser:

f ' x = 1 - cos ⁡ 2 x '

f ' x = - - sin ⁡ 2 x 2 x '

f ' x = 2 sin ⁡ 2 x

Agora, da uma olhada só o circula trigonométrico:

Como o domínio é:

D o m f = π 2 , π

Estamos falando do segundo quadrante! Mas como temos sin ⁡ 2 x e não sin ⁡ x , qualquer x dentro do domínio que a gente inserir, vai dar um valor de seno de algum arco do terceiro ou quarto quadrante. Em outras palavras:

S e   x ∈ π 2 , π   E n t ã o   2 x ∈ π , 2 π

Como esses quadrantes estão na parte de baixo do círculo trigonométrico, todos os valores de seno serão negativos! Sendo assim da pra afirmar com certeza que:

f ' x = 2 sin ⁡ 2 x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ π 2 , π

O que é, por si só, prova o suficiente de que f x é inversível em todo o seu domínio! Uhuul

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Passo 2

Agora vamos complicar um tico mais. Estamos falando de reta tangente na letra b . Mas ó! Tangente a inversa de f ! O primeiro passo vai ser modelar a equação. Vamos ter:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 = x 0 , f - 1 x 0 é o ponto de tangência e m = f - 1 ' x é o coeficiente angular da reta. Veja bem, o enunciado já dá pra gente o ponto de tangência ao dizer que x 0 = 1 ! Sendo assim:

y - y 0 = m x - x 0

y - f - 1 1 = f - 1 ' 1 x - 1

y = f - 1 ' 1 ∙ x - 1 + f - 1 1

Bora lá terminar essa modelagem. Vamos supor que sabemos o valor de f - 1 1 . Esse valor vai ser:

f - 1 1 = a

Oras, como essa é a inversa de f , podemos afirmar também:

f a = 1

Já que uma função inversa tem domínio e contra domínio trocados de lado em relação a sua função original. Como sabemos a expressão de f x , da pra gente achar o valor de a

f a = 1 - cos ⁡ 2 a = 1

cos ⁡ 2 a = 0

Cosseno zerando? Bora olhar o círculo trigonométrico de novo

Com o domínio é π 2 , π e a pertence ao domínio podemos afirmar que:

S e   a ∈ π 2 , π   E n t ã o   2 a ∈ π , 2 π

O único arco que zera o cosseno nesse intervalo, é o de 270 º = 3 π 2 . Da pra ver isso direitinho no círculo. Sendo assim:

cos ⁡ 2 a = 0

2 a = 3 π 2

a = 3 π 4

Agora que sabemos o valor de a , sabemos então que:

f - 1 1 = a = 3 π 4

E logo a equação da reta tangente fica:

y = f - 1 ' 1 x - 1 + f - 1 1

y = f - 1 ' 1 x - 1 + 3 π 4

Pra fechar com chave de ouro, basta a gente achar o coeficiente angular. Pra isso precisamos usar o a fórmulinha do teorema da derivada da função inversa, que é esse aqui ó:

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Aplicando x = 1 , temos:

f - 1 ' 1 = 1 f ' f - 1 1 = 1 f ' 3 π 4

A derivada de f x a gente já fez, não é mesmo? Isso vai dar:

f - 1 ' 1 = 1 2 sin ⁡ 2 ∙ 3 π 4 = 1 2 sin ⁡ 3 π 2 = 1 2 ∙ - 1 = - 1 2

Fechou então, a equação da reta tangente será:

y = f - 1 ' 1 x - 1 + 3 π 4

y = - 1 2 x - 1 + 3 π 4

Passo 3

Lembra que a gente falou que uma função inversa tem domínio e contra domínio trocados de lado em relação a sua função original. Então o dóminio vai ser:

D o m f - 1 = I m f

Pra achar a imagem de f a gente só precisa achar todos os valores de y = f x que a função pode assumir. Mas olha que sagaz, como:

f ' x = 2 sin ⁡ 2 x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ π 2 , π

Então f x é decrescente em seu domínio! Oras, seu maior y então ocorre em x = π 2 e seu menor y ocorre em x = π . Vamos ter:

f π 2 = 1 - cos ⁡ 2 ∙ π 2 = 1 - cos ⁡ π = 1 - - 1 = 1 + 1 = 2

f π = 1 - cos ⁡ 2 π = 1 - 1 = 0

A imagem de f vai ser então:

D o m f - 1 = I m f = 0,2

Passo 4

Quanto a uma expressão de f - 1 ? Vamos pensar no seguinte, vamos estabelecer que

f x = 1 - g x

Onde g x = cos ⁡ 2 x . Como sabemos os valores possíveis de x , podemos estabelecer domínio e imagem de g x :

g :     π 2 , π → - 1,1 x → cos ⁡ 2 x

Onde a primeira coluna é o domínio e a segunda a imagem. Com dúvidas de que isso ta certo? Tente substituir:

cos ⁡ 2 ∙ π 2 = cos ⁡ π = - 1

cos ⁡ 2 ∙ π = 1

Pra fazer a função inversa de g , basta trocarmos domínio com contra domínio:

g - 1 :     - 1,1 → π 2 , π x → g - 1 x

Mas qual será a expressão de g - 1 x ? Bem, como eu estou fazendo função inversa, com certeza um arccos ⁡ ▫ vai aparecer. Mas será que é o suficiente escrever arccos ⁡ x ? O que terá no lugar da bolinha ? Terá mais alguma coisa. Bom, vamos fazer um primeiro teste:

S e   g - 1 x = arccos ⁡ x →   g - 1 - 1 = π     g - 1 1 = 0

Ta errado né? O resultado que deveríamos achar era:

g - 1 - 1 = π 2     g - 1 1 = π

Ai sim estaríamos respeitando a imagem de g - 1 x . Vamos fazer o seguinte, já que nem g - 1 - 1 nem g - 1 1 devem dar 0 , vamos somar π a expressão, logo teremos:

S e   g - 1 x = π + arccos ⁡ x →   g - 1 - 1 = 2 π     g - 1 1 = π

Opa, tamos chegando perto em! Se dividirmos tudo por 2 então vamos ficar

S e   g - 1 x = π + arccos ⁡ x 2 →   g - 1 - 1 = π     g - 1 1 = π 2

E pra fechar com chave de ouro, como π 2 e π estão trocados de lugar, basta só negativar o x . A inversa correta será:

S e   g - 1 x = π + arccos ⁡ - x 2 →   g - 1 - 1 = π 2     g - 1 1 = π

Concluímos que:

g - 1 :     - 1,1 → π 2 , π x → π + arccos ⁡ - x 2

Ok ok, mas como isso ajuda a gente? Não é g - 1 x que eu quero e sim f - 1 x ! Bem, como eu quero a inversa de f , tenho que arranjar uma forma de escrever:

x = f y

Afinal de contas se eu inverter essa equação vou ter:

y = f - 1 x

Bem, como eu sei que:

f x = 1 - g x

Só escrevendo y no lugar de x , tenho o seguinte resultado:

x = f y = 1 - g y

x - 1 = - g y

g y = 1 - x

Opa, a inversa de g em função de x eu já conheço! Invertendo como fizemos com x = f y agora a pouco conseguimos a seguinte relação:

g - 1 1 - x = y

Agora é só pegar a expressão de g - 1 x e todo lugar onde o x aparece trocar ele por 1 - x . Vamos ficar com:

π + arccos ⁡ - 1 - x 2 = y

π + arccos ⁡ x - 1 2 = y

E finalmente, como y = f - 1 x , chegamos ao nosso final feliz:

f - 1 x = π + arccos ⁡ x - 1 2

Pra fins visuais, toda inversa de uma função é igual ao espelho da função original em relação ao eixo x . Saca só que bacana:

Resposta

  1. A função f x possui uma inversa uma vez que ela é derivável f ' x = 2 sin ⁡ 2 x < 0   p a r a   t o d o   x ∈ π 2 , π e pelo TFI basta f ' x ≠ 0 para ter inversa.
  2. y = - 1 2 x - 1 + 3 π 4
  3. D o m f - 1 = I m f = 0,2 f - 1 x = π + arccos ⁡ x - 1 2

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