Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Prove que

d d x ar ccossec ⁡ x   = - 1 x x 2 - 1

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Vamos para mais um desafio?

Pra resolver esse probleminha aqui, vamos precisar lembrar do que é esse arccossec(x). É uma função trigonométrica inversa da secante, em outras palavras.

a r c c o s s e c x = sec - 1 ⁡ ( x )

Depois disso, o próximo passo será usar alguns artifícios matemático e uma relação mega importante que é:

1 + tan 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ ( y )

Passo 2

Bem, para iniciar, vamos supor o seguinte:

sec ⁡ y = x

Derivando dos dois lados vamos ter:

d d x sec ⁡ y = d d x x

tan ⁡ y × sec ⁡ y d y d x = 1

Isolando a derivada, temos:

d y d x = 1 tan ⁡ y sec ⁡ y

Passo 3

Aplicando a relação apresentada no passo 1, temos:

1 + tan 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ ( y )

tan ⁡ y = sec 2 ⁡ y - 1

Uma vez que assumimos que sec ⁡ y = x , temos que sec 2 ⁡ y = x 2

Assim, temos que:

tan ⁡ y = x 2 - 1

Passo 4

Com isso, podemos lembrar de que:

d y d x = 1 tan ⁡ y sec ⁡ y

E substituindo o valor de t a n ⁡ ( y ) , temos:

d y d x = 1 x 2 - 1 sec ⁡ y

Além disso, temos que sec ⁡ y = x , logo:

d y d x = 1 x x 2 - 1

Resposta

Demonstração

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