Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

1. Derive

h. f x = 1 36 x 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2 + 2 27 arcsin ⁡ 3 x 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos uma derivada para calcular e a nossa função é bem grandinha:

f x = 1 36 x 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2 + 2 27 arcsin ⁡ 3 x 2

Como é um somatório, vamos primeiro calcular o a derivada do primeiro termo da soma aplicando a regra do produto e da cadeia.

Já no segundo termo, nós queremos achar a derivada de uma função arcosseno, beleza? E para fazer isso, vamos fazer isso vamos usar a derivada da função inversa. Para quem não lembra, temos que

g ' x = 1 g - 1 ' y

Bora lá!

Passo 2

Vamos chamar o nosso primeiro termo de h x , ou seja,

h x = 1 36 x 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2

Para fazer essa derivada vamos aplicar primeiro a regra do produto,

h ' x = 1 36 x ' 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2 + 1 36 x 9 x 2 - 2 ' 4 - 9 x 2 + 1 36 x 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2 '

Derivando, ficamos com,

h ' x = 1 36 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2 + 1 36 x 18 x 4 - 9 x 2 + 1 36 x 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2 '

h ' x = 1 36 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2 + 1 2 x 2 4 - 9 x 2 + 1 36 x 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2 '

Note que mantive o termo 4 - 9 x 2 ' sem derivar, pois aqui vamos ter aplicar a regra da cadeia. Então derivando essa parte, ficamos com

4 - 9 x 2 ' = 4 - 9 x 2 ' 4 - 9 x 2 '

4 - 9 x 2 ' = - 18 x 1 2 4 - 9 x 2

4 - 9 x 2 ' = - 18 x 2 4 - 9 x 2

Juntando na nossa derivada de h ' x

h ' x = 1 36 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2 + 1 2 x 2 4 - 9 x 2 + 1 36 x 9 x 2 - 2 - 18 x 2 4 - 9 x 2

h ' x = 1 36 9 x 2 - 2 4 - 9 x 2 + 1 2 x 2 4 - 9 x 2 - 1 2 x 2 9 x 2 - 2 1 2 4 - 9 x 2

Ajeitando,

h ' x = 4 - 9 x 2 1 4 x 2 - 1 18 + 1 2 x 2 - 1 2 x 2 9 x 2 - 2 1 2 4 - 9 x 2

h ' x = 4 - 9 x 2 3 4 x 2 - 1 18 - x 2 9 x 2 - 2 4 4 - 9 x 2

Agora vamos para próxima parte!

Passo 3

Vamos considerar nossa função como sendo

g x = arcsin ⁡ x

Lembra que isso é uma função arcotangente, então a sua inversa será a função tangente. Logo a nossa função inversa será,

g - 1 y = sin ⁡ y

Ou também podemos escrever que

x = sin ⁡ y

Opaaa! Agora já podemos aplicar!

Passo 4

Derivando a nossa g - 1 y

g - 1 ' y = cos ⁡ y

Como isso, temos que,

g ' x = 1 cos ⁡ y

Mas repara que estamos em função de y ainda. Para sair dessa vamos usar uma identidade trigonométrica,

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Mas temos que x = sin ⁡ y . Então

x 2 + cos 2 ⁡ y = 1

cos 2 ⁡ y = 1 - x 2

cos ⁡ y = 1 - x 2

Substituindo, ficamos com,

g ' x = 1 cos ⁡ y = 1 1 - x 2

Pessoal! A gente achou a derivada da função arcosseno, mas a nossa segunda parte da função é um pouco diferente!

Passo 5

Nós queremos achar agora,

2 27 arcsin ⁡ 3 x 2 '

Vamos aplicar a regra da cadeia,

2 27 arcsin ⁡ 3 x 2 ' = 2 27 3 x 2 ' arcsin ' ⁡ 3 x 2

2 27 arcsin ⁡ 3 x 2 ' = 2 27 3 2 1 1 - 3 x 2 2

2 27 arcsin ⁡ 3 x 2 ' = 1 9 1 1 - 3 x 2 2

Passo 6

Juntando todas as partes, temos que a nossa derivada será,

f ' x = 4 - 9 x 2 3 4 x 2 - 1 18 - x 2 9 x 2 - 2 4 4 - 9 x 2 + 1 9 1 1 - 3 x 2 2

Resposta

f ' x = 4 - 9 x 2 3 4 x 2 - 1 18 - x 2 9 x 2 - 2 4 4 - 9 x 2 + 1 9 1 1 - 3 x 2 2

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