Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Calcule y ' nos exercícios 17 . a 19

18 .   s e n ( e x y ) = x

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

  s e n ( e x y ) = x

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, nestas questões temos que nossa função é definida implicitamente, portanto, teremos que usar a regra da cadeia

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

É só identificar quem é quem na regrinha acima! Bora lá!

Passo 2

Vamos derivar em ambos os lados de nossa definição

d d x [ s e n ( e x y ) ] = d d x [ x ]

usando a regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

podemos escrever que

d d x [ s e n ( e x y ) ] = 1

Identificando que g ( h ) = s e n ( h ) e h ( x ) = e x   y , aplicando a regra da cadeia, temos que

d d h [ s e n ( h ) ] d d x [ e x y ] = 1

Temos que a derivada do seno é dada por

d d h [ s e n ( h ) ] = c o s ( h ) = c o s ( e x y )

Como temos que y = y ( x ) , vamos precisar resolver a outra derivada usando novamente a regra da cadeia! Vem comigo!

Passo 3

Queremos resolver a seguinte derivada

d d x [ e x y ]

usando a regra da cadeia com g ( h ) = e h e h ( x ) = x y , podemos escrever

d d x [ e x y ] = d d h [ e h ] d d x [ x y ]

a derivada da exponencial é dada por

d d h [ e h ] = e h = e x y

e para a segunda derivada vamos precisar da regra do produto

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) + g ( x ) d d x [ h ( x ) ]

usando que h ( x ) = y ( x ) e g ( x ) = x , obtendo que

d d x [ x y ] = d d x [ x ] y + x d d x [ y ]

usando a regra do tombo, temos que

d d x [ x y ] = y + x d d x [ y ]

De forma que nossa derivada se torna

d d x [ e x y ] = e x y [ y + x d d x [ y ] ]

Vamos juntar os resultados agora! Saca só!

Passo 4

Obtemos que

c o s ( e x y ) e x y [ y + x d d x [ y ] ] = 1

passando c o s ( e x y ) e x y dividindo, temos que

y + x d d x [ y ] = 1 c o s ( e x y ) e x y

de forma que podemos isolar a nossa derivada como

d d x [ y ] = 1 x   c o s ( e x y ) e x y - y x

Fazendo um MMC, temos que

d d x [ y ] = 1 - y   e x y c o s ( e x y ) x   c o s ( e x y ) e x y

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ y ] = 1 - y   e x y c o s ( e x y ) x   c o s ( e x y ) e x y

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