Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

CEFET - Cálculo 1 - P1 Romulo 2014.2 – 3

a ) Calcule a derivada de f x = cotg ⁡ ( x ) .

b ) Use a informação da questão anterior para mostrar que D u arccotg ⁡ u = - 1 1 + u 2

Passo 1

a ) Bom, essa é uma derivada conhecida. Ela vai ser

f ' x = - cossec 2 ⁡ ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Vamos pela derivada do inverso de uma função:

f - 1 u = 1 f ' x

Sabendo que se arccotg ⁡ u = x , então:

u = cotg ⁡ x

Escrevi como se u = f ( x ) e x = f - 1 ( u ) , ok? Bom, vamos escrever como ficaria a princípio:

arccotg ⁡ u ' = 1 cotg ⁡ x ' = 1 - cossec 2 ⁡ x

Passo 3

Certo, e pela definição que eu dei ali em cima tenho isso aqui:

u = f x = cotg ⁡ ( x )

Bom, nesse caso, como eu escrevo o - cossec 2 ⁡ x em função de u ? Eu faço em função da cotg ⁡ ( x ) , que é igual a u . Tem essa identidade trigonométrica aqui para ajudar:

cossec 2 ⁡ ( x ) = 1 + cotg 2 ⁡ ( x )

cossec 2 ⁡ ( x ) = 1 + u 2

Traz para a derivada então, um abraço:

arccotg ⁡ u ' = 1 - cossec 2 ⁡ x = - 1 1 + u 2

Provado!

Resposta

a)

f ' x = - cossec 2 ⁡ ( x )

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