Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

  1. Uma nova regra de derivação foi deduzida nesse tópico: a derivada da função inversa. A tabela da esquerda representa três formas de escrever a mesma regra, apenas em notações diferentes. A tabela da direita apresenta a derivada das inversas das funções seno, cosseno e tangente (já com a regra da cadeia embutida).

Utilize a tabela para determinar a derivada das funções abaixo.

b. f x = arccos ⁡ x 1 - x 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função arcocosseno para derivar. E o enunciado, nos forneceu uma colinha de como podemos fazer essa derivada, já com a regra da cadeia aplicada:

f x = arccos ⁡ u → f ' x = - u ' 1 - u 2

A nossa função é,

f x = arccos ⁡ x 1 - x 2

Ou seja, temos que

u = x 1 - x 2

Então agora é só aplicar!

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada de u . Para isso, vamos usar a regra do quociente. Fica assim:

u ' = x ' 1 - x 2 - x 1 - x 2 ' 1 - x 2 2

Derivando,

u ' = 1 - x 2 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 = 1 1 - x 2 1 - x 2

u ' = 1 1 - x 2 3

Agora vamos substituir na derivada da nossa f x .

Passo 3

Tinhamo que,

f ' x = - u ' 1 - u 2

Substituindo,

f ' x = - 1 1 - x 2 3 1 - x 1 - x 2 2

f ' x = - 1 1 - x 2 3 1 - x 1 - x 2 2

Ajeitando, ficamos com

f ' x = - 1 1 - x 2 3 1 - 2 x 2 1 - x 2  

f ' x = - 1 1 - x 2 1 - 2 x 2

Resposta

f ' x = - 1 1 - x 2 1 - 2 x 2

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