Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Ver Teoria

Enunciado

1. Derive

l. f x = x arctan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós queremos achar a derivada de uma função que é um somatório de uma função arcotangente e função logarítmica. Sendo assim, vamos resolver as duas partes separadas!

f ' x = x arctan ⁡ x ' - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 '

Para achar a derivada da função arcotangente, vamos usar a derivada da função inversa. Para quem não lembra, temos que

g ' x = 1 g - 1 ' y

Bora lá!

Passo 2

Vamos considerar nossa função como sendo

g x = arctan ⁡ x

Como isso é uma função arcotangente, então a sua inversa será a função tangente. Logo a nossa função inversa será,

g - 1 y = tan ⁡ y

Ou também podemos escrever que

x = tan ⁡ y

Opaaa! Agora já podemos aplicar!

Derivando a nossa g - 1 y

g - 1 ' y = 1 cos 2 ⁡ y = cossec 2 ⁡ y

Como isso, temos que,

g ' x = 1 g - 1 ' y = - 1 cossec 2 ⁡ y

Passo 3

Então econtramos que

g ' x = - 1 cossec 2 ⁡ y

Mas repara que estamos em função de y ainda. Para sair dessa vamos usar uma identidade trigonométrica,

tan 2 ⁡ y + cossec 2 ⁡ y = 1

Vamos usar isso porque temos que x = tan ⁡ y . Então

x 2 + cossec 2 ⁡ y = 1

cossec 2 ⁡ y = 1 - x 2

Substituindo, ficamos com,

g ' x = - 1 cossec 2 ⁡ y = 1 x 2 + 1

Pessoal! A gente achou a derivada da função arcotangente, mas o nosso problema pede outra derivada!

Derivando agora a nossa função do enunciado, x arctan ⁡ x ' . Vamos aplicar a regra do produto

x arctan ⁡ x ' = arctan ⁡ x + x x 2 + 1

Passo 4

Vamos fazer agora a derivada da função logarítmica, aplicando a regra da cadeia,

1 2 ln ⁡ 1 + x 2 ' = 1 2 1 + x 2 ' ln ' ⁡ 1 + x 2

1 2 ln ⁡ 1 + x 2 ' = 1 2 2 x 1 1 + x 2

1 2 ln ⁡ 1 + x 2 ' = x 1 + x 2

Agora vamos juntar tudo!

Passo 5

No Passo 1, vimos que,

f ' x = x arctan ⁡ x ' - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 '

Substituindo a derivada de cada parte, ficamos com

f ' x = arctan ⁡ x + x x 2 + 1 - x 1 + x 2

f ' x = arctan ⁡ x

Prontinho!

Resposta

f ' x = arctan ⁡ x

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o exercício 54 da série de exercícios 8.1, mostrando que arctan ⁡ x e - arctan ⁡ 1 x diferem por uma constante e então calcule-a.
Dois pontos, A e B , são diametralmente opostos nas praias de um lago circular com 1 km de diâmetro. Uma pessoa deseja ir do ponto A ao ponto B . Ela pode remar a uma velocidade de 1 1 2 km/h e andar
Encontre a derivada da função dada:f (x) = sec^(- 1) (sqrt(x^2 + 4))
Encontre a derivada da função dada:f (x) = ln (tg^(- 1) 3 x)
Encontre a derivada da função dada:g (x) = x^2 sec^(- 1) (1)/(x)