Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Passo 1

Nossa função é

y = arctan ⁡ x

Daí tiramos que

tan ⁡ y = x

E sabemos que

tan ⁡ y = sen ⁡ y cos ⁡ y

Assim

sen ⁡ y cos ⁡ y = x

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Passo 2

Isolando o sen ⁡ y na relação que acabamos de encontrar, temos

sen ⁡ y = x cos ⁡ y

E, da relação fundamental da trigonometria, temos que

sen 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Substituindo a relação do seno,

x cos ⁡ y 2 + cos 2 ⁡ y = 1

x 2 cos 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Colocando cosseno em evidencia:

cos 2 ⁡ y 1 + x 2 = 1

cos 2 ⁡ y = 1 1 + x 2

Passo 3

Agora, vamos voltar a primeira relação que encontramos lá no passo 1:

tan ⁡ y = x

Derivando ambos os lados em relação a x :

sec 2 ⁡ y ∙ y ' = 1

Assim,

y ' = 1 sec 2 ⁡ y

y ' = 1 1 cos ⁡ y 2 = cos 2 ⁡ y

Passo 4

Opa! Mas no passo 2 a gente achou que

cos 2 ⁡ y = 1 1 + x 2

Substituindo isso então, ficamos com

y ' = cos 2 ⁡ y = 1 1 + x 2

E quem é y ' ?

Isso mesmo, jovem Padawan, é a derivada da nossa função y , que é justamente

y = arctan ⁡ x

Então

y ' = arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2

E demonstramos, uhul!

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