Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

11. Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.

  1. y = tan - 1 ⁡ ( x )

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos uma derivada para calcular, mas antes de começar vamos lembrar de uma notação:

arctan ⁡ x = tan - 1 ⁡ x ≠ tan ⁡ x - 1

Ou seja, aqui nós queremos achar a derivada de uma função arcotangente, beleza?

E para fazer isso, vamos fazer isso vamos usar a derivada da função inversa. Para quem não lembra, temos que

f ' x = 1 f - 1 ' y

Bora lá!

Passo 2

Vamos considerar nossa função como sendo

f x = tan - 1 ⁡ x

Lembra que isso é uma função arcotangente, então a sua inversa será a função tangente. Logo a nossa função inversa será,

f - 1 y = tan ⁡ y

Ou também podemos escrever que

x = tan ⁡ y

Opaaa! Agora já podemos aplicar!

Passo 3

Derivando a nossa f - 1 y

f - 1 ' y = 1 cos 2 ⁡ y = cossec 2 ⁡ y

Como isso, temos que,

f ' x = - 1 cossec 2 ⁡ y

Mas repara que estamos em função de y ainda. Para sair dessa vamos usar uma identidade trigonométrica,

tan 2 ⁡ y + cossec 2 ⁡ y = 1

Mas temos que x = tan ⁡ y . Então

x 2 + cossec 2 ⁡ y = 1

cossec 2 ⁡ y = 1 - x 2

Substituindo, ficamos com,

f ' x = - 1 cossec 2 ⁡ y = 1 x 2 + 1

Pessoal! A gente achou a derivada da função arcotangente, mas o nosso problema pede outra derivada!

Passo 4

Derivando agora a nossa função do enunciado,

y = tan - 1 ⁡ ( x )

Vamos aplicar a regra da cadeia,

y ' = x ' tan - 1 ' ⁡ x

y ' = 1 2 x 1 + x

Resposta

y ' = 1 2 x 1 + x

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