Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

4. Uma função y = y x está definida implicitamente pela equação

arctan ⁡ x y = π 4 + y - x

Determine y 1 e y ' 1 e a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , y 1 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui a primeira coisa que vamos fazer é achar o nosso y 1 e para isso vamos precisar usar o nossos conhecimentos de ângulos notáveis na trigonometria.

Nós temos a seguinte função,

arctan ⁡ x y = π 4 + y - x

Para achar y 1 , nós temos que fazer x = 1 , fica assim,

arctan ⁡ y = π 4 + y - 1

Essa equação é difícil de resolver né. Mas aqui temos que ter uma sacada marota! Repara que se anularmos a parte y - 1 , vamos ter um ângulo notável na equação que é π 4 .

Vamos verificar que se ao anularmos esses termo, a nossa equação continua verdadeira:

y - 1 = 0

y = 1

Substituindo isso na nossa equação, ficamos,

arctan ⁡ 1 = π 4 + 1 - 1

arctan ⁡ 1 = π 4

Opaaa! Repara que a nossa equação é verdadeira, pois o arco cuja tangente é 1 é justamente o π 4 . Sendo assim, temos que

y 1 = 1

Agora vamos achar essa derivada!

Passo 2

Para achar y ' 1 , vamos ter que derivar implicitamente e depois substituir x = 1 . Lembrando que a derivada arcotangente é

( arctan ⁡ x ) ' = 1 x 2 + 1

Lembrando que o que queremos derivar é:

arctan ⁡ x y = π 4 + y - x

Como temos x y dentro do argumento, precisaremos também usar a regra da cadeia (derivando a função de fora e multiplicando pela derivada da função de dentro):

1 x y 2 + 1 . y + x y ' = 0 + y ' - 1

Fazendo a distributiva, ficamos com

y 1 x y 2 + 1 + x 1 x y 2 + 1 y ' = 0 + y ' - 1

Isolando y ' ,

y ' x 1 x y 2 + 1 - 1 = - 1 - y 1 x y 2 + 1

y ' = - 1 - y 1 x y 2 + 1 x 1 x y 2 + 1 - 1

Fazendo agora x = 1 e sabendo que nesse ponto y = 1 , ficamos com

y ' 1 = - 1 - 1 1 1 2 + 1 1 1 1 2 + 1 - 1

y ' 1 = - 3 2 - 1 2 = 3

Agora vamos para equação da reta tangente!

Passo 3

Então, galerinha, para quem não lembra a equação da reta tangente tem essa cara aqui,

y - y 0 = y ' x 0 x - x 0

Onde, ( x 0 , y 0 ) é o ponto onde a reta tangente passa e y ' x 0 é a derivada no ponto.

O enunciado pede a reta tangente ao ponto 1 , y 1 , e vimos que y 1 = 1 . Ou seja, x 0 = 1 e y 0 = 1 .

Além disso, no passo anterior, vimos que y ' 1 = 3 . Então agora é só substituir tudo,

y - 1 = 3 x - 1

y = 3 x - 2

Resposta

  • y 1 = 1
  • y ' 1 = 3
  • y = 3 x - 2

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