Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Elaboração própria

Encontre a derivada da função abaixo:

f x = arcsen ⁡ ( cotg ⁡ ( 3 x ) )

Passo 1

Certo, para chegar nessa derivada a gente vai ter que aplicar a Regra da Cadeia. Eu precisaria, então, derivar de fora pra dentro, como na definição, onde haveriam duas funções dadas por g x = arcsen ⁡ x e por h x = cotg ⁡ x . Ficaria, aplicando a Regra, assim:

g h x ' = g ' h x h ' ( x )

Ok, derivando a função de fora, g ( x ) = arcsen ⁡ x , ficaria assim:

f ' x = arcsen ⁡ ( cotg ⁡ ( 3 x ) ) ' = 1 1 - [ cotg ⁡ ( 3 x ) ] 2 ( cotg ⁡ 3 x ) '

Agora basta encontrar aquela última derivada ali

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, precisamos pensar então na derivada de h x = cotg ⁡ 3 x . Concorda que, em se tratando de uma função i ( x ) = 3 x dentro de outra j x = cotg ⁡ x bastaria aplicar a Regra da Cadeia assim:

j i x ' = j ' i x i ' ( x )

Pois façamos isso, lembrando que a derivada da cotangente é – cossec 2 ⁡ x :

cotg ⁡ 3 x ' = – cossec 2 ⁡ 3 x 3 x '

= – 3 cossec 2 ⁡ 3 x

Passo 3

De volta à questão, basta que juntemos o que achamos no Passo 2 ao Passo 3:

f ' x = 1 1 - [ cotg ⁡ ( 3 x ) ] 2 cotg ⁡ 3 x '

= 1 1 - [ cotg ⁡ ( 3 x ) ] 2 – 3 cossec 2 ⁡ 3 x

Resposta

f ' x = – 3 cossec 2 ⁡ 3 x 1 - [ cotg ⁡ ( 3 x ) ] 2

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