Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Determine a derivada das funções abaixo

k )   f x = sec ⁡ x

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = sec ⁡ x

E pediu a derivada!

Até agora só conhecemos a derivada de seno e cosseno, mas e da secante? Bom! O primeiro passo é reescrever essa função em termos de seno e cosseno! Assim transformamos uma função que a gente (ainda) não conhece a derivada em uma com funções cuja derivada a gente já manja!

Precisamos lembrar que a função secante é o inverso do cosseno! Assim

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x  

Aí nossa função fica assim

f x = 1 cos ⁡ x

Assim que você olhar uma função que tem uma divisão precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE!

A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.

Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções f g ' :

h g ' = h ' g - g ' h g 2

A ideia aqui é identificar quem são essas funções f e g no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do produto

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função em termos do cosseno é

f x = 1 cos ⁡ x

Podemos dizer que em cima temos h = 1 e embaixo g = cos ⁡ x

E a derivada do quociente de funções é

f ' = h g ' = h ' g - g ' h g 2

As derivadas de h e g são:

h = 1         ;         h ' = 0

g = cos ⁡ x       ;       g ' = - s e n   x

Agora é só aplicar na regra do quociente:

f ' = h ' g - g ' h g 2 = 0 . cos ⁡ x - - s e n x . 1 cos 2 ⁡ x = s e n x cos 2 ⁡ x  

Tranquilo?

Passo 3

Mas agora nos resta simplificar essa expressão final, não que o resultado esteja errado, mas para você ter uma fórmula para a derivada da secante em termos das funções trigonométricas, sem envolver uma divisão

Para isso vamos lembrar que

t g   x = s e n x cos ⁡ x

Aí nosso resultado pode ser reescrito em termos da tangente:

f ' = s e n x cos 2 ⁡ x = s e n x c o s x   c o s x = t g x c o s x

Mas sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , aí

f ' = sec ⁡ x t g   x

Pronto! Descobrimos a derivada da secante:

f = sec ⁡ x

f ' = sec ⁡ x   t g x

E agora você pode usar sempre que precisar! Não precisa mais abrir no quociente, pode se jogar nessa fórmula!

Resposta

f ' = sec ⁡ x t g   x  

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