Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Derive as funções dos exercícios 6 . a 16 . (se for conveniente, use derivação logarítmica)

16 .   f ( x ) = l n [ x + 1 ( x - 1 ) 3 ]

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

f ( x ) = l n [ x + 1 ( x - 1 ) 3 ]

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, em particular, temos a derivação logarítmica citada no enunciado! Ela consiste em usar a seguinte derivada

d d x [ l n ( x ) ] = 1 x

quando conveniente para resolver o nosso problema! E você verá! Que isso é conveniente mais vezes do que se espera! Vem comigo!

Passo 2

Vamos usar a seguinte propriedade do logaritmo, temos que

l n [ g ( x ) h ( x ) ] = l n [ g ( x ) ] - l n [ h ( x ) ]

portanto, temos que

f ( x ) = l n ( x + 1 ) - l n [ ( x - 1 ) 3 ] = l n [ ( x + 1 ) 1 / 2 ] - l n [ ( x - 1 ) 3 ]

também usando a propriedade do logaritmo

l n [ g ( x ) h ( x ) ] = h ( x )   l n [ g ( x ) ]

podemos escrever que

f ( x ) = l n [ ( x + 1 ) 1 / 2 ] - l n [ ( x - 1 ) 3 ] = 1 2 l n ( x + 1 ) - 3   l n ( x - 1 )

Bem mais simples não é? Vamos derivar agora!

Passo 3

Derivando a nossa função, temos que

d d x [ f ( x ) ] = 1 2 d d x [ l n ( x + 1 ) ] - 3 d d x [ l n ( x - 1 ) ]

Usando a regra da cadeia

d d x { g [ h ( x ) ] } = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

em que g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = x + 1 , obtendo que

d d x [ l n ( x + 1 ) ] = d d h [ l n ( h ) ] d d x [ x + 1 ]

usando a derivada que apresentei no passo 1 , e a regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

obtemos

d d x [ l n ( x + 1 ) ] = 1 x + 1

da mesma forma para a outra derivada, temos que

d d x [ l n ( x - 1 ) ] = 1 x - 1

A derivada de nossa função é dada então por

d d x [ f ( x ) ] = 1 2   ( x + 1 ) - 3 x - 1 = - ( 5 x + 7 ) 2   ( x 2 - 1 )

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ f ( x ) ] = - ( 5 x + 7 ) 2   ( x 2 - 1 )

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