Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Determine a derivada das funções abaixo

m )   f x = cos ⁡ x   c o t g x sec ⁡ x - cos ⁡ x

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = cos ⁡ x   c o t g x sec ⁡ x - cos ⁡ x

E pediu a derivada!

Até agora só conhecemos a derivada de seno e cosseno, mas e dessa coisa aí? Bom! O primeiro passo é reescrever essa função em termos de seno e cosseno! Assim transformamos uma função que a gente (ainda) não conhece a derivada em uma com funções cuja derivada a gente já manja!

Depois de simplificar essa função o máximo que for possível, aí sim vamos derivar! Usando a regra do produto, quociente, o que for preciso..., mas vamos com calma! Um passo de cada vez! Primeiro é fazer a simplificação

Lembrando que c o t g   x = c o s x s e n x e que sec ⁡ x = 1 c o s x nossa função f x   fica assim:

f x = cos ⁡ x   c o t g x sec ⁡ x - cos ⁡ x = cos ⁡ x cos ⁡ x s e n x 1 cos ⁡ x - cos ⁡ x = cos 2 ⁡ x s e n x 1 - cos 2 ⁡ x cos ⁡ x = cos 2 ⁡ x s e n x . cos ⁡ x ( 1 - cos 2 ⁡ x )

f x = cos 3 ⁡ x s e n   x ( 1 - cos 2 ⁡ x )

Calma! Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , então s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x e nossa função fica:

f x = cos 3 ⁡ x s e n x   ( s e n 2 x ) = cos 3 ⁡ x s e n 3 x

Passo 2

Agora que já simplificamos nossa função, vamos olhar ela com mais carinho

f x = cos 3 ⁡ x s e n 3 x

Assim que você olhar uma função que tem uma divisão precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE!

A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.

Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções f g ' :

h g ' = h ' g - g ' h g 2

A ideia aqui é identificar quem são essas funções f e g no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do produto

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Tranquilo?

Passo 3

Nossa função em termos de seno cosseno e do seno é

f x = cos 3 ⁡ x s e n 3 x

Podemos dizer que em cima temos h = cos 3 ⁡ x e embaixo g = s e n 3 x

E a derivada do quociente de funções é

f ' = h g ' = h ' g - g ' h g 2

As derivadas de h e g são:

h = cos 3 ⁡ x         ;         h ' = - 3 cos 2 ⁡ x s e n x

g = s e n 3 x       ;       g ' = 3 s e n 2 x cos ⁡ x

Lembrando que aqui usei a regra da cadeia, onde nas duas funções a função de fora é a potência ao cubo, e a de dentro em uma é o cosseno e na outra o seno.

Agora é só aplicar na regra do quociente:

f ' = h ' g - g ' h g 2 = - 3 cos 2 ⁡ x s e n x . s e n 3 x - 3 s e n 2 x cos ⁡ x . cos 3 ⁡ x s e n 6 x = - 3 s e n 2 x c o s 2 x s e n 2 x + cos 2 ⁡ x s e n 6 x  

E usar a relação fundamental s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 e por fim lembrar que c o t g x = cos ⁡ x s e n x e c o s s e c x = 1 s e n x

Aí nossa derivada fica assim:

f ' x = - 3 cos 2 ⁡ x s e n 2 x   s e n 2 x = - 3 c o t g 2 x   c o s s e c 2 x

Beleza?

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

f ' x = - 3 c o t g 2 x   c o s s e c 2 x

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