Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

Considere a função f x = sen ⁡ arctg ⁡ x , mostre que:

f ' x = 1 1 + x 2 3 / 2

Passo 1

Essa é uma questão um tanto quando diferente da maioria, então vamos lá com cautela.

Vamos começar derivando usando a regra da cadeia: f ' x = sen ⁡ arctg ⁡ x ' = cos ⁡ arctg ⁡ x ⋅ arctg ⁡ x ' = cos ⁡ arctg ⁡ x ⋅ 1 1 + x 2 =

cos ⁡ arctg ⁡ x 1 + x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Comparando a derivada que achamos com a derivada que ele deu, temos:

cos ⁡ arctg ⁡ x 1 + x 2 = 1 1 + x 2 3 / 2

Logo, precisamos mostrar que cos ⁡ arctg ⁡ x = 1 / 1 + x 2 , pois: cos ⁡ arctg ⁡ x = 1 + x 2 1 1 + x 2 3 / 2 = 1 1 + x 2 1 / 2 = 1 1 + x 2

Vamos tentar mostrar isso aí! Como o arco tangente e a tangente são inversas, temos que:

tg ⁡ arctg ⁡ x = x

Da mesma forma, temos a relação para qualquer tangente: sec 2 ⁡ y = 1 + tg 2 ⁡ y

Sendo y = arctg ⁡ x , temos:

sec 2 ⁡ y = 1 + tg 2 ⁡ y ⟹ sec 2 ⁡ arctg ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ arctg ⁡ x

Ou seja:

sec ⁡ arctg ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ arctg ⁡ x = 1 + x 2

Como a secante é igual é 1 sobre cosseno: cos ⁡ arctg ⁡ x = 1 1 + x 2

Como queríamos demonstrar! Veja que nessa questão, era necessário várias coisa, saber a relação entre arco tangente e a tangente (igual a x por ser inversa), a relação trigonométrica entre a secante e a tangente e que a secante é 1 sobre cosseno.

Quanta coisa, né? Então fica treina bastante essas relações para arrasar na sua prova. Você consegue !

Resposta

Fornecida no próprio enunciado. Prova na resolução.

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