Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

Calcule y ' nos exercícios 17 . a 19

17 .   l n ( x y + y x ) = 5

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos a seguinte função que precisaremos derivar

  l n ( x y + y x ) = 5

em geral teremos que usar regrinhas básicas de derivação como a regra do tombo, regra do quociente, regra do produto e da cadeia, assim como diversas derivadas conhecidas! Mas, nestas questões temos que nossa função é definida implicitamente, portanto, teremos que usar a regra da cadeia

d d x [ g ( h ( x ) ) ] = d d h [ g ( h ) ] d d x [ h ( x ) ]

É só identificar quem é quem na regrinha acima! Bora lá!

Passo 2

Vamos derivar em ambos os lados de nossa definição, como temos que derivada de constantes é zero, podemos escrever

d d x [ l n ( x y + y x ) ] = 0

Identificando que g ( h ) = l n ( h ) e h ( x ) = x y + y x , aplicando a regra da cadeia, temos que

d d h [ l n ( h ) ] d d x [ x y + y x ] = 0

Temos que a derivada do logaritmo é dada por

d d h [ l n ( h ) ] = 1 h = 1 x y + y x

Como temos que y = y ( x ) , vamos precisar resolver a outra derivada usando a regra do quociente! Vem comigo!

Passo 3

Queremos resolver a seguinte derivada

d d x [ x y + y x ] = d d x [ x y ] + d d x [ y x ]

vamos ter que usar a regra do quociente

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

na primeira derivada, temos que h ( x ) = y ( x ) e g ( x ) = x , obtendo que

d d x [ x y ] = d d x [ x ] y - x d d x [ y ] [ y ] 2

usando a regra do tombo

d d x [ x n ] = n   x n - 1

portanto, podemos escrever

d d x [ x y ] = y - x d d x [ y ] y 2

Da mesma forma, identificando que h ( x ) = x e g ( x ) = y ( x ) , de forma que

d d x [ y x ] = d d x [ y ] x - y d d x [ x ] x 2

Vamos juntar os resultados agora! Saca só!

Passo 4

Obtemos que

1 x y + y x { y - x d d x [ y ] y 2 + d d x [ y ] x - y d d x [ x ] x 2 } = 0

Como temos a expressão é igual a 0 , podemos simplesmente obter que

y - x d d x [ y ] y 2 + d d x [ y ] x - y d d x [ x ] x 2 = 0

Isolando a derivada podemos obter que

- d d x [ y ] [ x y 2 + x x 2 ] + 1 y + y x 2 = 0

Ou, simplesmente

d d x [ y ] = 1 y + y x 2 x y 2 + 1 x

Nós podemos simplificar essa relação um pouco! Vamos lá!

Passo 5

Fazendo um MMC no denominador, e outro no numerador, temos que

d d x [ y ] = 1 y + y x 2 x y 2 + 1 x = x 2 + y 2 y x 2 x 2 + y 2 y 2 x

lembrando que quando se divide duas frações, você multiplica a primeira pela inverso da segunda, temos então que

d d x [ y ] = x 2 + y 2 y x 2 y 2 x x 2 + y 2 = y x

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ y ] = y x

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