Exercícios Resolvidos de Derivadas de Funções Inversas Trigonométricas

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Enunciado

  1. Uma nova regra de derivação foi deduzida nesse tópico: a derivada da função inversa. A tabela da esquerda representa três formas de escrever a mesma regra, apenas em notações diferentes. A tabela da direita apresenta a derivada das inversas das funções seno, cosseno e tangente (já com a regra da cadeia embutida).

Utilize a tabela para determinar a derivada das funções abaixo.

d. y = sin ⁡ 3 x arctg ⁡ 4 x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma função arcotangente para derivar. E o enunciado, nos forneceu uma colinha de como podemos fazer essa derivada, já com a regra da cadeia aplicada:

f x = arctg ⁡ u → f ' x = u ' 1 + u 2

A nossa função é,

f x = sin ⁡ 3 x arctg ⁡ 4 x

Ou seja, temos que

u = 4 x

Então agora é só aplicar!

Passo 2

Para derivamos a nossa função vamos usar a regra do quociente.

f ' x = sin ⁡ 3 x ' arctg ⁡ 4 x - sin ⁡ 3 x arctg ⁡ 4 x ' arctg ⁡ 4 x 2

Pela tabela fornecida pelo enunciado, temos que a derivada da função arcotangente será:

arctg ⁡ 4 x ' = 4 1 + 16 x 2

E a derivada da função seno será,

sin ⁡ 3 x ' = 3 cos ⁡ ( 3 x )

Com isso, y ' ficará

y ' = 3 cos ⁡ 3 x arctg ⁡ 4 x - sin ⁡ 3 x 4 1 + 16 x 2 arctg ⁡ 4 x 2

Resposta

y ' = 3 cos ⁡ 3 x arctg ⁡ 4 x - sin ⁡ 3 x 4 1 + 16 x 2 arctg ⁡ 4 x 2

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