Determine os valores de λ   ( λ ∈ R + ) para os quais o problema de valor de contorno abaixo tem solução não-nula. Para esses tais valores de λ , exiba as soluções não nulas.

y ' ' + λ 2 y = 0 ,         0 < x < π ;               y 0 = 0 ,           y π = 0

Passo 1

Faaala, molecada boa. Começando pequeno, veja que se λ = 0 , temos:

y ' ' = 0 ⇒ y = a x + b

Porém, das condições de contorno: y 0 = a 0 + b = 0 , logo b = 0 e ainda, y π = a π = 0 , tal que a = 0 . Assim, y x = 0 é a solução (não convém).

Analisemos o caso λ > 0 . Nesse caso, y ' ' = - λ 2 y , cuja solução é:

y = a cos ⁡ λ x + b sin ⁡ λ x

Contudo y 0 = a cos ⁡ 0 + b sin ⁡ 0 = a = 0 , tal que:

y x = b sin ⁡ λ x

De y π = 0 , vem b sin ⁡ λ π = 0 . Ora, a fim de que b ≠ 0 e a solução seja não nula, temos:

λ π = n π ⇒ λ = n ,       c o m   n = 1 ,   2 ,   …

Assim, o problema admite soluções não-nulas:

y n ( x ) = sin ⁡ n x ,               n = 1,2 ,   …

Resposta

y n ( x ) = sin ⁡ n x ,               n = 1,2 ,   …

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