Achar as soluções gerais das seguintes equações:

y ' ' + k y = 0   p a r a   k ≠ 0

Passo 1

A equação diferencial que você apresentou é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficiente constante k:

y ' '   +   k y   =   0 .

Essa equação é conhecida como a equação diferencial harmônica simples.

A solução depende do valor de k.

Vou apresentar as soluções gerais para diferentes valores de k:

  1. Caso k > 0:

Se k é um valor positivo, as soluções são trigonométricas e estão relacionadas a oscilações.

A solução geral é dada por:

y t =   C 1   * cos ⁡ k *   t +   C 2   * sin ⁡ k *   t

Passo 2

  1. Caso k

Se k é um valor negativo, as soluções são exponenciais e estão relacionadas a decaimentos e crescimentos amortecidos.

A solução geral é dada por:

y t =   C 1   *   e - k *   t +   C 2   *   e - - k *   t

              =   C 1   *   e i k *   t +   C 2   *   e - i k *   t

              =   A   * cos ⁡ k *   t +   B   * sin ⁡ k *   t

onde i é a unidade imaginária, A e B são constantes reais e C1, C2 são constantes complexas.

Em ambos os casos, você precisa determinar as constantes C1 e C2 (ou A e B) usando as condições iniciais ou informações adicionais fornecidas no problema.

Resposta

              y ( t ) =   A   * cos ⁡ k *   t +   B   * sin ⁡ k *   t

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Calcule a e b:f ) ((i + 1)^2)/((i - 1)^2) = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial.2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível.y^(' ') + 2 y^' = 0 , y (0) = 1 , y (1) = 2