Considere a equação diferencial y ' ' + y ' - c y = 0 . Qual o valor de c de modo a que a função y t = 3 t e - t 2 seja solução da equação diferencial?

(a) c = 0

(b) c = 2

(c) c = 1

(d) c = - 1

(e) c = - 1 / 4

Passo 1

Vamos jogar a função y na EDO, assim vai dar pra determinar o valor de c !

Mas primeiro precisamos das derivadas de y :

y ' t = 3 e - t 2 + 3 t e - t 2 - 1 2

⇒ y ' t = 3 - 3 2 t e - t 2

Então a derivada segunda é:

y ' ' t = - 3 2 e - t 2 + 3 - 3 2 t e - t 2 - 1 2

⇒ y ' ' t = - 3 2 - 1 2 3 - 3 2 t e - t 2

⇒ y ' ' t = - 3 2 - 3 2 + 3 4 t e - t 2

⇒ y ' ' t = - 3 + 3 4 t e - t 2

Passo 2

Beleza, então jogando esses valores na equação, temos

y ' ' + y ' - c y = 0

- 3 + 3 4 t e - t 2 + 3 - 3 2 t e - t 2 - c 3 t e - t 2 = 0

- 3 + 3 4 t + 3 - 3 2 t e - t 2 = 3 c t e - t 2

- 3 4 t e - t 2 = 3 c t e - t 2

e - t 2 > 0 ,     t ∈ R então podemos cortar e - t 2 dos 2 lados, o que dá:

- 3 4 t = 3 c t

⇒   - 1 4 t = c t

⇒ t = 0       o u     c = - 1 4

Passo 3

Repare que se t = 0 , temos:

y ' ' 0 = - 3 + 0 e 0 = - 3

y ' 0 = 3 + 0 e 0 = 3

y 0 = 0 e 0 = 0

Portanto,

y ' ' 0 + y ' 0 - c y 0 = - 3 + 3 - 0 = 0

Ou seja, se t = 0 , a função y é solução da equação, não importando o valor de c .

Então para que y seja sempre solução da EDO, para qualquer valor de t , devemos ter c = - 1 4 .

Resposta

Alternativa (e)

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Calcule a e b: f ) i + 1 2 i - 1 2 = a + b i
Considere o problema de valor inicial 2 y ' ' + 3 y ' - 2 y = 0 , y 0 = 1 , y ' 0 = - α , em que α0 .Resolva o problema de valor inicial.Faça o gráfico da solução em α = 1 . Encontre as coordenadas t
Resolva a equação diferencial. 2 d 2 y d t 2 + 2 2 d y d t - y = 0
Resolva o problema de contorno, se possível. y ' ' + 2 y ' = 0 ,y 0 = 1 ,y 1 = 2