Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFPE, Cálculo 4, 2º EE - 2017.1 (2), Questão 1

Considere a equação diferencial

                y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0                                           ( * )

( a ) Defina u x = e x y ( x ) , e mostre que u ( x ) satisfaz a equação

u ' ' + u = 0

( b ) Resolva a equação acima e obtenha a solução geral de ( * ) usando u ( x ) .

Passo 1

Bom, já que o cara deu uma relação entre u ( x ) e y ( x ) , devemos substituir essa relação em ( * ) e ver no que dá. Para isso, a gente precisa do y ' ' e y ' , em termos de u .

  u x = e x y x         y x = e - x u x

y ' x = - e - x u x + e - x u ' ( x )

y ' ' x =   e - x u x - 2 e - x u ' x + e - x u ' ' ( x )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que a gente já tem os termos necessários, bora substituir em ( * ) !!!

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0

e - x u x - 2 e - x u ' x + e - x u ' ' x + 2 - e - x u x + e - x u ' x + 2 e - x u x = 0

Juntando os termos semelhantes...

e - x u ' ' ( x ) + u x = 0

Se a gente tem um produto de duas coisas dando zero, quer dizer que ou uma coisa é zero, ou a outra é. Como e - x 0 , para todo x pertencente aos reais, temos que:

u ' ' ( x ) + u x = 0

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Agora vamos resolver a letra ( b ) .

Oooopa, ele disse que você deve usar u x , então vamos colocar a EDO de 2

ª ordem em u aqui embaixo pra você não confundir.

u ' ' + u = 0

Essa é a EDO que devemos resolver. Lembrando que ela é de segunda ordem porque está envolvida a segunda derivada como a de maior grau. Além disso, é homogênea porque ela tá igualada a zero.

Passo 4

Depois dessa revisãozinha, bora colocar a mão na massa e resolver.

Resolver essa EDO é resolver aquele polinômio de 2º grau, lembra?

u ' ' + u = 0       r 2 + 1 = 0

r = ± i

Logo, solução de u x = e 0 x A c o s x + B s e n x = A c o s x + B s e n ( x )

Passo 5

Beleza! Mas a gente precisa lembrar que o cara quer o y ( x ) , não u ( x ) . Mas agora é fácil encontrar o y ( x ) , porque a gente tem uma relação entre u ( x ) e y ( x ) .

y x = e - x u x

y x = e - x A c o s x + B s e n x

Resposta

a Demonstração.

b   y x = e - x A c o s x + B s e n x

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