Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2018.1, Questão 2

Considere a equação diferencial y ' ' + 6 y ' + 13 y = 0 .

  1. Encontre a solução geral da equação diferencial.
  2. Determine lim t y t .
  3. Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais y 0 = 0 , y ' 0 = 4 .

Passo 1

Vamos letra por letra, começando pela (a). Para resolver a EDO, encontramos a equação característica correspondente: y ' ' + 6 y ' + 13 y = 0

r 2 + 6 r + 13 = 0

Por Bhaskara, vamos ter:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 1 = - 6 + 36 - 4 1 13 2 = - 6 + - 16 2 = - 3 + 2 i

r 2 = - 6 - - 16 2 = - 3 - 2 i

Então aqui temos raízes com parte real e parte imaginária. De forma geral, para uma raiz na forma: r = α ± β i

Vamos ter solução com exponencial, senos e cossenos: y t = e α t A cos β t + B sen β t

Então, comparando com o que encontramos no problema, vamos ter:

y t = e - 3 t A cos 2 t + B sen 2 t

E essa vai ser nossa solução geral!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos para a letra (b) agora. Como temos

y t = e - 3 t A cos 2 t + B sen 2 t

Tiramos esse limite diretamente. Aplicando na expressão, vamos ter:

lim t y t = l i m t e - 3 t A cos 2 t + B sen 2 t

Temos aqui uma exponencial que vai tender para zero multiplicando funções trigonométricas que ficam oscilando entre - 1 e 1 . É de se esperar que esse limite dê zero, mas vamos mostrar isso matematicamente.

l i m t e - 3 t A cos 2 t + B sen 2 t = l i m t e - 3 t A cos 2 t + l i m t e - 3 t B sen 2 t

Vamos olhar para o limite com o cosseno:

l i m t e - 3 t A cos 2 t = A l i m t e - 3 t cos 2 t

Para resolver, usamos o fato da função cosseno ser limitada:

- 1 cos 2 t 1

E manipulamos a desigualdade para chegar na expressão do limite:

- e - 3 t e - 3 t cos 2 t e - 3 t

Aplicando o limite:

- l i m t e - 3 t l i m t e - 3 t cos 2 t l i m t e - 3 t

Como a exponencial tem expoente negativo, vai tender para zero, ficando:

0 l i m t e - 3 t cos 2 t 0

Assim, pelo teorema do confronto (ou sanduiche para os íntimos), temos que:

l i m t e - 3 t cos 2 t = 0

Da mesma forma, encontramos:

l i m t e - 3 t s en 2 t = 0

Assim, como era de se esperar:

lim t y t = l i m t e - 3 t A cos 2 t + B sen 2 t = 0

Passo 3

Agora o problema nos deu as condições iniciais

y 0 = 0

y ' 0 = 4

E com elas podemos encontrar as constantes A e B da solução geral. Aplicando a primeira condição, vamos ter:

y 0 = 0 = e 0 A cos 0 + B sen 0 = A = 0

Assim, temos agora

y t = B e - 3 t sen 2 t

Para aplicar a segunda condição, derivamos usando a regra do produto:

y ' t = B - 3 e - 3 t sen 2 t + 2 e - 3 t cos 2 t

E então, vamos ter:

y ' 0 = 4 = B - 3 e 0 sen 0 + 2 e 0 cos 0 = 2 B = 4

B = 2

Assim, a nossa solução final para o PVI será a solução geral substituindo esses valores que encontramos:

y t = 2 e - 3 t sen 2 t

Resposta

(a) y t = e - 3 t A cos 2 t + B sen 2 t

(b) lim t y t = l i m t e - 3 t A cos 2 t + B sen 2 t = 0

(c) y t = 2 e - 3 t sen 2 t

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