Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

EDO de 2ª Ordem homogênea

Considere a equação diferencial y ' ' + p x y ' + q x y = 0 , com p x e q x funções reais.

Sabendo que y 1 x = e x e y 2 x = x 2 são soluções da equação, determine p x e q x .

Passo 1

Para acharmos p x e q x vamos substituir as duas soluções da EDO e ver o que temos, começando com y 1 x = e x

y 1 = e x

y 1 ' = e x

y 1 ' ' = e x

Substituindo na equação vamos ter

e x + p x . e x + q x . e x = 0

Colocando e x em evidência

e x 1 + p x + q x = 0

Como e x é sempre diferente de 0 , vamos ter

1 + p x + q x = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora substituir os valores de y 2 x = x 2

y 2 = x 2

y 2 ' = 2 x

y 2 ' ' = 2

Substituindo na equação vamos ter

2 + p x . 2 x + q x . x 2 = 0

2 + 2 x p x + x 2 q x = 0

Passo 3

Vamos ter o seguinte sistema

1 + p x + q x = 0 2 + 2 x p x + x 2 q x = 0

Multiplicando a primeira equação por - x 2 vamos ter

- x 2 - x 2 p x - x 2 q x = 0

Somando com a segunda equação, vamos ter

2 - x 2 + 2 x p x - x 2 p x = 0

p x 2 x - x 2 = x 2 - 2

p x = x 2 - 2 2 x - x 2

Substituindo esse valor na primeira equação vamos ter

1 + x 2 - 2 2 x - x 2 + q x = 0

q x = - x 2 + 2 2 x - x 2 - 1

Igualando os denominadores, vamos ter

q x = - x 2 + 2 - 2 x + x 2 2 x - x 2

q x = 2 - 2 x 2 x - x 2

Resposta

p x = x 2 - 2 2 x - x 2

q x = 2 - 2 x 2 x - x 2

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