Considere a equação diferencial ordinária

X ' ' ( x ) - λ X ( x ) = 0 .

Determine os valores de λ ∈ ℝ para os quais existem soluções não nulas desta equação que satisfazem as condições de fronteira abaixo. Obtenha também a expressão destas soluções. Considere L > 0 .

( a )   X ( 0 ) = 0 , X ' ( L ) = 0 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Nós temos a seguinte equação diferencial ordinária

X ' ' ( x ) - λ X ( x ) = 0 .

temos que encontrar os valores de λ ∈ ℝ tal que existam soluções não nulas da expressão acima. Em geral, poderíamos ter qualquer valor de λ , mas ao considerarmos as seguintes condições de contorno

X ( 0 ) = 0 , X ' ( L ) = 0

Isso limita as nossas opções! Vamos escrever o polinômio característico para λ em diferentes intervalos dos reais e ver o que as condições de contorno acarretam. Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos considerar λ > 0 , temos que o polinômio característico é da forma

r 2 - λ = 0

e, portanto, as raízes são da forma

r = ± λ

e, as soluções são da forma

X ( x ) = C 1 e + λ x + C 2 e - λ x

O que acontece se aplicarmos as condições de contorno? Temos que X ( 0 ) = 0 , portanto

C 1 + C 2 = 0         ( 1 )

Derivando a solução temos que

X ( x ) = λ C 1 e + λ x - λ C 2 e - λ x

aplicando a condição, temos que X ' ( L ) = 0 , obtendo

0 = λ C 1 e λ L - λ C 2 e - λ L           ( 2 )

Da equação ( 1 ) obtemos que C 1 = - C 2 e, substituindo este resultado na equação ( 2 ) , temos que

C 1 ( e λ L - e - λ L ) = 0

como L > 0 e λ > 0 , e como as exponenciais são funções positivas, a única solução é C 1 = 0 . Sendo assim, não há solução não-nula nestas condições de contorno para λ > 0 . Vamos tentar outra possibilidade agora!

Passo 3

Fazendo um processo análogo ao anterior, mas com λ = 0 , temos que o polinômio característico é

r 2 = 0

que resulta em duas raízes repetidas nulas, de forma que a solução pode ser escrita como

X ( x ) = C 1 + C 2 x

com derivada dada por

X ' ( x ) = C 1

aplicando as condições de contorno obtemos novamente duas equações lineares da forma

0 = C 1 e 0 = C 2

Ou seja, também não há solução não-nula para λ = 0 . Vamos agora analisar a última possibilidade.

Passo 4

Vamos considerar λ < 0 , ou seja, vou substituir em nossa equação λ = - β , em que β > 0 . Assim, a nossa equação se torna

X ' ' ( x ) + β X ( x ) = 0

Essa expressão tem o seguinte polinômio característico

r 2 + β = 0

e, portanto, obtemos raízes complexas da forma

r = ± i β

sendo assim, nossa solução é uma combinação linear de senos e cossenos da forma

X ( x ) = C 1 s e n ( β x ) + C 2 c o s ( β x )

a sua derivada é dada por

X ' ( x ) = C 1 β   c o s ( β x ) - C 2 β s e n ( β x )

sob as condições de contorno, obtemos mais uma vez duas equações

C 2 = 0 e C 1 β   c o s ( β L ) - C 2 β s e n ( β L ) = 0

ou seja, temos C 2 = 0 , e portanto, a seguinte relação resta

C 1 β c o s ( β L ) = 0

Note que isso é zero quando C 1 = 0 (Mas não queremos isso) ou quando

β L = ( 2 n + 1 ) π 2

em que m = 2 n + 1 é um número ímpar. Usando então que

β = ( 2 n + 1 ) 2 π 2 4 L 2

ou seja

λ = - ( 2 n + 1 ) 2 π 2 4 L 2

Temos infinitas soluções da forma

X n ( x ) = C n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L x ]

em que

X ( x ) = ∑ n = 0 ∞ C n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L x ]

Portanto, temos soluções não nulas apenas com λ < 0 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

λ < 0

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