Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2013.1, Questão 4

Considere a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes a y ' ' + b y ' + c y = 0

  1. Determine a , b e c tais que as funções y 1 x = e 2 x cos x e y 2 x = e 2 x sen x sejam as soluções da equação
  2. Encontre a solução geral da equação a y ' ' + b y ' + c y = x

Passo 1

a )

Ele deu as soluções da EDO, o normal seria substituirmos essas soluções na EDO, mas como as funções são muito brabas vai dar muito trabalho, vamos colocar a cachola para funcionar um pouco.

A solução geral seria

y = C 1 e 2 x cos x + C 2 e 2 x sen x

y = e 2 x C 1 cos x + C 2 sen x

Lembra qual EDO tem esse tipo de solução? É aquela que o Δ dá negativo, as soluções da equação auxiliar vão ser complexas, e terão a seguinte forma

r = a ± b i

Onde b vai ser o coeficiente dentro do cosseno e do seno, e a vai ser o coeficiente de x no expoente de e x , então as soluções são

r = 2 ± i

A equação característica vai ser

r - r 1 r - r 2 = 0

r - 2 - i r - 2 + i = 0

Fazendo a distributiva

r - 2 - i r - 2 + i = r 2 - 2 r + i r - 2 r + 4 - 2 i - i r + 2 i - i 2 = 0

Lembrando que i 2 = - 1 vamos ter

r 2 - 4 r + 5 = 0

Pela Edo essa equação vai ser

a r 2 + b r + c = 0

Então

a = 1

b = - 4

c = 5

E a EDO vai ficar

y ' ' - 4 y ' + 5 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Ele quer a solução da EDO não homogênea

y ' ' - 4 y ' + 5 y = x

A solução dessa parada vai ser

y = y h + y p

Precisamos achar a solução particular e a solução da EDO homogênea equivalente.

Primeiro temos que achar a solução da homogênea, mas dessa vez ele já deu. A solução da homogênea

y h = e 2 x C 1 cos x + C 2 sen x

Passo 3

Vamos agora para a particular, ele nos deu um polinômio ali, então vamos usar os coeficientes a determinar,

y p = A x + B

y p ' = A

y p ' ' = 0

Substituindo na EDO

0 - 4 A + 5 A x + B = x

5 A x + - 4 A + 5 B = x

Devemos ter

5 A = 1

A = 1 5

E

- 4 A + 5 B = 0

- 4 5 + 5 B = 0

B = 4 25

A solução particular vai ser

y p = x 5 + 4 25

Passo 4

A solução geral vai ficar

y = y h + y p

y = e 2 x C 1 cos x + C 2 sen x + x 5 + 4 25

Resposta

y = e 2 x C 1 cos x + C 2 sen x + x 5 + 4 25

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