Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

EDO de 2ª ordem homogênea

Determine a solução geral y ( x ) da equação diferencial de segunda ordem

y ' ' + y = 0

Passo 1

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' + y = 0

Legal! A equação já está na forma que queremos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' + 0 y ' + 1 y = 0

Logo:

a = 1 b = 0 c = 1

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 0 2 - 4 1 ( 1 )

⇒ Δ = - 4

⇒ Δ < 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 + 0 r + 1 = 0

⇒ r 2 + 1 = 0

Cálculo das raízes:

r 2 = - 1

⇒ r = ± i

Logo:

r = 0 ± 1 i

Comparando com

r = α ± β i

Temos que

α = 0 β = 1

Passo 5

Encontrar a solução:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x

⇒ y x = e 0 x c 1 cos ⁡ 1 x + c 2 sen ⁡ 1 x

⇒ y x = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x

Resposta

y x = c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ x

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