Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral III, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão Q14

Encontre a função y ( t ) , que é a solução da equação diferencial a seguir: d 2 y d t 2 + 5 d y d t + 4 y ( t ) =   0 , com y ( 0 ) =   1 e y ' ( 0 ) =   0

( ) y t = 5 3 e - t + 2 3 e - 4 t  

( ) y t = 4 3 e - t - 1 3 e - 4 t

( ) y t =   - 4 3 e - t   - 1 3 e - 4 t

( ) y t = 4 3 e - t - 1 3 e 4 t    

( )   y ( t ) = 4 3 e - t + 1 3 e -   4 t

Passo 1

Opa, vamos lá resolver essa equação diferencial. Bom, a primeira coisa que a gente faz é a equação característica, né Aí a gente substitui o y ' ' por r 2 , o y ' por r   e o y por 1 . Beleza, então nossa equação característica fica assim:

r 2 + 5 r + 4 = 0

Bom, agora a gente pode calcular as raízes da nossa equação do segundo grau, né

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 5 ± 25 - 4.4 . 1 2 = - 5 ± 3 2

Então, as raízes serão:

r 1 = - 4   e   r 2 = - 1

Maravilhaaa! Quando a gente tem duas raízes reais e diferentes, a nossa solução geral é:

y t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Substituindo os valores de r 1 e r 2 , nossa solução vai ficar:

y t = c 1 e - 4 t + c 2 e - t

Agora, a gente vai aplicar as condições iniciais do problema, ou seja, y ( 0 ) =   1 e y ' ( 0 ) =   0

Só que para isso, a gente precisa saber a derivada da nossa função:

y ' t = - 4 c 1 e - 4 t - c 2 e - t

Bom, já temos tudo o que a gente precisa para aplicas as condições iniciais:

y 0 = c 1 + c 2 = 1

y ' 0 = - 4 c 1 - c 2 = 0 c 2 = - 4 c 1

Se a gente substituir c 2 na primeira, teremos:

c 1 + - 4 c 1 = 1   - 3 c 1 = 1 c 1 = - 1 3

Sabendo c 1 , agora podemos calcular c 2 :

c 2 = - 4 c 1 c 2 = - 4 - 1 3 = 4 3

Agora, é só a gente substituir o valor de c 1 e c 2 na nossa solução geral:

y t = c 1 e - 4 t + c 2 e - t

y t = - 1 3 e - 4 t + 4 3 e - t

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Resposta

y t = - 1 3 e - 4 t + 4 3 e - t

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