Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 14, Questão 9

Encontre a solução da EDO:

y ' ' + 8 y ' + 16 y = 0

Passo 1

Beleza, temos aqui uma derivada de segunda ordem, portanto temos uma EDO de segunda ordem. Além disso, não há nenhuma função de x solta, então essa é uma EDO homogênea também.

Maneiro, observado isso, vamos começar encontrando a equação característica:

y ' ' + 8 y ' + 16 y = 0 r 2 + 8 r + 16 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrada a equação característica, o que fazemos? Achamos a solução dela!

Poderíamos usar Bhaskara tranquilamente, mas vamos ser mais sagazes aqui, porque alimentar as sacadas nos salva em momentos críticos nas provas. Repare que a nossa equação é na verdade:

r 2 + 2 4 r + 4 2 = 0

Isso significa que está no formato:

r 2 + 2 a r + a 2 = r + a 2

Sendo, neste caso, a = 4 . Logo, temos aqui um quadrado perfeito: r 2 + 8 r + 16 = r + 4 2

Então temos duas raízes idênticas aqui!

r 1 = r 2 = - 4

Passo 3

Apesar de termos raízes reais, como temos duas raízes idênticas, não podemos escrever a solução da mesma forma que com raízes reais distintas. Temos que adicionar um x multiplicando uma das exponenciais:

Assim, no nosso caso teremos: y x = c 1 e - 4 x + c 2 x e - 4 x

Como o problema não nos deu nenhuma outra informação, a resposta final ficará assim mesmo, com constantes gerais c 1 e c 2 .

Resposta

y x = c 1 e - 4 x + c 2 x e - 4 x

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