Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

2 .     y ' ' + 9 y = 0

Passo 1

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' + 9 y = 0

Legal! A equação já está na forma que queremos!

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' + 0 y ' + 9 y = 0

Logo:

a = 1 b = 0 c = 9

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 0 2 - 4 1 ( 9 )

Δ = - 36

Δ < 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 + 0 r + 9 = 0

r 2 + 9 = 0

Cálculo das raízes:

r 2 = - 9

⇒ r = ± 3 i

Logo:

r = 0 ± 3 i

Comparando com

r = α ± β i

Temos que

α = 0 β = 3

Passo 5

Encontrar a solução:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x

y x = e 0 x c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 sen ⁡ 3 x

y x = c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 sen ⁡ 3 x

Resposta

y x = c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 sen ⁡ 3 x

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