Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 12, Questão 4

Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

4 .   d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 1 6 y = 0

Passo 1

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0

Lembrando que podemos escrever da seguinte forma:

y ' ' + 8 y ' + 16 y = 0

Legal! A equação já está na forma que queremos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' + 8 y ' + 1 6 y = 0

Logo:

a = 1 b = 8 c = 1 6

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 8 2 - 4 1 ( 16 )

Δ = 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 + 8 r + 1 6 = 0

Cálculo das raízes:

r = - b ± Δ 2 a

r = - 8 ± 0 2

Logo:

r 1 = r 2 = - 4

Passo 5

Encontrar a solução:

y x = c 1 e r x + c 2 x e r x

y x = c 1 e - 4 x + c 2 x e - 4 x

Resposta

y x = c 1 e - 4 x + c 2 x e - 4 x

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