Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 12, Questão 5

Nos exercícios 1 a 12 encontre a solução geral da EDO linear homogênea.

5 .     y ' ' + 3 y ' - 5 y = 0

Passo 1

Colocar a EDO na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 :

y ' ' + 3 y ' - 5 y = 0

Legal! A equação já está na forma que queremos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar a , b e c :

Comparando as equações:

a y ' ' + b y ' + c y = 0 1 y ' ' + 3 y ' - 5 y = 0

Logo:

a = 1 b = 3 c = - 5

Passo 3

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 3 2 - 4 1 ( - 5 )

Δ = 29

Δ > 0

Passo 4

Encontrar raízes da equação auxiliar:

a r 2 + b r + c = 0

r 2 + 3 r - 5 = 0

Cálculo das raízes:

r = - b ± Δ 2 a

r = - 3 ± 29 2

r 1 = - 3 + 29 2

r 2 = - 3 - 29 2

Passo 5

Encontrar a solução:

y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x

y x = c 1 e - 3 + 29 2 x + c 2 e - 3 - 29 2 x

Resposta

y x = c 1 e - 3 + 29 2 x + c 2 e - 3 - 29 2 x

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