Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2011.2, Questão 3

Para s R um parâmetro real, considere a equação diferencial

y ' ' t + s y t = 0           ( * )

Para quais valores do parâmetro s a equação ( * ) admite uma solução y satisfazendo y 0 = 0 e y 1 = 1 ?

Passo 1

Bom, como se trata de uma equação de segunda ordem homogênea, para resolver ela temos que resolver a equação característica associada dada por

r 2 + s = 0

Vamos então separar nos casos em que s < 0 ,   s > 0   e s = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No caso s = 0 , temos que

r 2 = 0 r 1 = r 2 = 0

E portanto,

y t = C 1 + C 2 t

Para satisfazer as condições iniciais, fazemos

0 = y 0 = C 1

E

1 = y 1 = C 2

Dai temos

y t = t

Passo 3

No caso s > 0 , temos

r 2 = - s r = ± s i

Ou seja, duas raízes complexas, portanto

y t = C 1 cos s t + C 2 s e n s t

Aplicando as condições iniciais ficamos com

0 = y 0 = C 1

1 = y 1 = C 2 s e n s

A segunda igualdade acima nos permite achar C 2 exceto para os pontos s tal que

s e n s = 0 s = n π s = n 2 π 2

Portanto, para estes valores toda solução que satisfazer y 0 = 0 automaticamente satisfaz y 1 = 0 e não y 1 = 1 como queremos, logo não existe solução que satisfaça as condições do enunciado.

Passo 4

No caso s < 0 , temos que - s > 0 , e portanto

r 2 = - s r 1 = - s ,   r 2 = - - s

E portanto,

y t = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

Aplicando as condições iniciais ficamos com

0 = y 0 = C 1 + C 2 C 2 = - C 1

E

1 = y 1 = C 1 e r 1 + C 2 e r 2

C 1 e r 1 - C 1 e r 2 = 1

C 1 = 1 e r 1 - e r 2

E portanto:

y t = 1 e r 1 - e r 2 e r 1 t - 1 e r 1 - e r 2 e r 2 t

y t = e r 1 t - e r 2 t e r 1 - e r 2

E como r 1 > r 2 e a função exponencial é uma função crescente temos que

e r 1 > e r 2

Portanto o denominador é não nulo. Assim para todo s < 0 existe uma solução satisfazendo as condições do enunciado.

Resposta

Existe solução satisfazendo as condições do enunciado exceto para s da forma s = n 2 π 2 com n N .

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