Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2018.2, Questão 3

Questão 3: A função y x = e x cos x , x R , é a solução de qual das equações abaixo?

  1. y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0
  2. y ' ' + y = 0
  3. y ' ' + y = e x cos x
  4. y ' ' - 2 y ' + 2 y = x
  5. y ' ' - y = e x

Passo 1

Nem, infelizmente para verificar isso a gente tem que derivar duas vezes a função que queremos prover ser solução e depois ir substituindo em cada item pra ver se chegamos em 0 = 0 . Se isso acontecer, então encontramos a resposta, saca?

y x = e x cos x    

y ' x = e x cos x - e x sin x  

y ' ' x = e x cos x - e x sin x - e x sin x + e x cos x         y ' ' x = - 2 e x sin x

Agora vamos substituir!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos primeiro substituir na letra A :

y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0    

- 2 e x sin x - 2 e x cos x - e x sin x + 2 e x cos x = 0  

- 2 e x sin x - 2 e x cos x + 2 e x sin x + 2 e x cos x = 0  

0 = 0

OPA! Encontramos de primeira ! Logo, y x = e x cos x é solução da EDO da letra A.

Resposta

a )   y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0    

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