( c ) Resolva o problema se f ( x ) = ∑ n = 0 N d n s e n [ ( n + 1 / 2 ) π L   x ] para algum inteiro N ≥ 0 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos a seguinte equação diferencial (ED)

∂ t u = k   ∂ x 2 u , 0 ≤ x ≤ L , t ≥ 0 ;

com as condições de fronteira (CF)

u ( 0 , t ) = 0 , ∂ x u ( L , t ) = 0 , t ≥ 0 ;

e condições iniciais (CI)

CI u ( x , 0 ) = f ( x ) , 0 ≤ x ≤ L .

na última alternativa encontramos a seguinte solução

u ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ A n e - ( 2 n + 1 ) π 2 L   t s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

em que as condições iniciais indicam que

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ A n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

nesta alternativa devemos usar que

f ( x ) = ∑ n = 0 N d n   s e n [ ( n + 1 / 2 ) π L   x ]

para limitar a nossa solução! Vamos tentar fazer isso!

Passo 2

Aqui é bem simples, note que a nossa solução aplicada a condição inicial requer que

∑ n = 0 N d n s e n [ ( n + 1 / 2 ) π L   x ] = ∑ n = 0 ∞ A n   s e n [ ( n + 1 / 2 ) π L   x ]

Portanto, temos que o somatório do lado esquerdo estabelece que apenas N coeficientes A n existem e que seus valores são d n , todos outros coeficientes m > N são nulos. Sendo assim, a nossa solução é simplesmente dada por

u ( x , t ) = ∑ n = 0 N d n e - ( 2 n + 1 ) π 2 L t s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

A alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = ∑ n = 0 N d n e - ( 2 n + 1 ) π 2 L t s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

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