Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFPE, Cálculo 4, 1º EE - 2019.1, Questão 1e

Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

y ' ' - 4 y ' + 29 y = 0

y 0 = 0

y ' 0 = - 1

Passo 1

Identificar a EDO:

y ' ' - 4 y ' + 29 y = 0

É uma EDO Homogênea de 2ª ordem.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos encontrar a, b e c:

a y ' ' + b y ' + c y ' = 0 1 y ' ' - 4 y ' + 29 y = 0

a = 1 b = - 4 c = 29

Passo 3

Encontrar o :

= b 2 - 4 a c

= - 4 2 - 4 ( 1 ) ( 29 )

= - 100

< 0

Passo 4

Encontrar a equação auxiliar e suas raízes:

a r 2 + b r + c = 0

1 r 2 - 4 r + 29 = 0

r = - b ± 2 a = - ( - 4 ) ± - 100 2

r 1 = 2 + 5 i r 2 = 2 - 5 i

α = 2 β = 5

A solução geral para esse tipo de equação é:

y = e 2 x ( C 1 cos 5 x + C 2 s e n   5 x )

Passo 5

Aplicando as condições iniciais:

y 0 = 0

y ' 0 = - 1

y = e 2 x ( C 1 cos 5 x + C 2 s e n   5 x )

y 0 = C 1 = 0

y = e 2 x C 2 s e n   5 x

y ' = e 2 x 5 C 2 c o s   5 x + 2 e 2 x C 2 s e n   5 x

y ' 0 = e 0 5 C 2 c o s   0

y ' 0 = 5 C 2 = - 1

C 2 = - 1 5

A solução particular fica:

y = - 1 5 e 2 x s e n   5 x

Resposta

y = - 1 5 e 2 x s e n   5 x é solução do problema de valor inicial.

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