Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2015.1, Questão ME-02

Sabe-se que y = C 1 cos 2 t + C 2 sin 2 t é a solução de y ' ' + a y ' + b y = 0 . Quanto valem a e b ?

a)   a = 4 e b = 0

b)   a = 2 e b = 4

c) a = 0 e b = 4

d)   a = 2 e b = 2

e)   a = 1 e b = 2

Passo 1

Olhando para a solução, vemos que se trata do terceiro caso, na qual Δ < 0 na equação auxiliar, certo? A solução deve ser:

y x = e α x C 1 cos β x + C 2 sin β x

Comparando com a solução dada,

y = C 1 cos 2 t + C 2 sin 2 t

Vemos que α = 0 e que β = 2 !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Isso significa que as raízes da equação auxiliar são:

r = α ± β i

r = 0 ± 2 i

E, para que isso aconteça, então a equação característica é:

r 2 + 4 = 0

Assim, a equação diferencial é:

y ' ' + 4 y = 0

Portando, em y ' ' + a y ' + b y = 0 , a = 0 e b = 4 !

Resposta

Letra c

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