Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2016.1, Questão E8

Sabe-se que y " + a y ' + b y = 0 tem como solução geral y = e - x c 1 cos 2 x + c 2 s e n 2 x , onde c 1 , c 2 R . Então, quanto valem a e b ?

Passo 1

Pela forma geral da solução, percebemos que trata-se do caso onde < 0 . Além disso, as raízes são da forma:

r 1 , r 2 = - 1 ± 2 i

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A equação auxiliar é:

r 2 + a r + b = 0

Calculando temos:

- a ± a 2 - 4 b 2

Igualando as raízes encontradas no passo anterior temos:

- a ± a 2 - 4 b 2 = - 1 ± 2 i

Ajeitando:

- a ± a 2 - 4 b = - 2 ± 4 i

Portanto a = 2

O que está dentro da raíz tem de ser igual a - 16 , pois 4 i = 4 - 1 = - 16

Então:

4 - 4 b = - 16

Temos:

b = 5

Resposta

a = 2 ; b = 5

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