Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G1 - 2012.1, Questão 2

Seja f : R R contínua e considere a equação diferencial

y ' ' + 2 f x y ' + f x 2 y = 0

i) Determine f ( x ) tal que a função y ( x ) = e - x seja solução da equação.

ii) Escreva a formula geral da equação achada no item (i).

iii) Ache a solução particular da equação do item (i) definida pelas condições iniciais y 0 = 0 ,       y ' 0 = 1 .

Passo 1

i) Bom, só temos que substituir y x = e - x na EDO.

y ' ' + 2 f x y ' + f x 2 y = 0

e - x - 2 f x e - x + f x 2 e - x = 0

Multiplicando tudo por e x ficamos com

1 - 2 f x + f x 2 = 0

1 - f x 2 = 0

1 - f x = 0

f x = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

ii) Usando o valor de f ( x ) que achamos no item (i) temos a EDO

y ' ' + 2 y ' + y = 0

Vamos resolver essa EDO agora.

A equação característica dessa EDO é

r 2 + 2 r + 1 = 0

r + 1 2 = 0

r 1 = r 2 = - 1

Logo, temos duas raízes reais iguais.

Aí a solução geral é dada por

y x = A + B x e - x

Passo 3

iii) Usando as condições iniciais dadas por

y 0 = 0 ,       y ' 0 = 1 .

Temos que

y 0 = A = 0

E

y ' 0 = B = 1

Então, a solução particular dadas as condições iniciais é

y x = x e - x

Resposta

i)

f x = 1

ii)

y x = A + B x e - x

iii)

y x = x e - x

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