Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª ordem homogênea

EDO de 2ª Ordem Homogênea

Seja a equação diferencial E   : y ' ' - 6 y ' + 9 y = 0 . Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(a) A função y t = e 3 t - t e 3 t é a única solução de ( E ) verificando y 0 = 1 e y ' 0 = 2 .

(b) O real 3 é raiz simples da equação característica associada.

(c) A função y t = e - 3 t + 5 t e 3 t é uma solução de ( E ) verificando y 0 = 1 e y ' 0 = 2 .

(d) A função y t = t ( e t + e 3 t ) é solução de ( E ) .

(e) Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

Dando uma olhada nas alternativas, parece que o melhor jeito de proceder é resolver a EDO mesmo (nem sempre é o caso!). Então partiu!

( E ) já está na forma a y ' ' + b y ' + c y = 0 com a = 1 , b = - 6 e c = 9 .

Então o discriminante é:

Δ = b 2 - 4 a c = 36 - 4.1 . 9 = 0

E a equação auxiliar:

r 2 - 6 r + 9 = 0

r = 6 ± 0 2 = 3

Como Δ = 0 , a solução é da forma

y t = c 1 e r t + c 2 t e r t = c 1 e 3 t + c 2 t e 3 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos testar as alternativas uma por uma:

Alternativa (a):

Ela dá a função y t = e 3 t - t e 3 t . Podemos ver que ela se encaixa na forma que a gente achou:

c 1 e 3 t + c 2 t e 3 t e 3 t - t e 3 t

c 1 = 1     e     c 2 = - 1

Ou seja, essa y é solução da EDO.

Agora resta saber se essa é a única solução respeitando as condições y 0 = 1 e y ' 0 = 2 .

y 0 = 1     c 1 e 0 + c 2 . 0 . e 0 = 1   c 1 = 1

Vamos calcular a derivada da solução que achamos:

y t = c 1 e 3 t + c 2 t e 3 t

y ' t = 3 c 1 e 3 t + c 2 e 3 t + 3 c 2 t e 3 t

Ou seja:

y ' 0 = 2   3 c 1 + c 2 + 0 = 2

E como c 1 = 1 :

3 + c 2 = 2

c 2 = - 1

Concluímos que a função y ( t ) dada pela alternativa (a) realmente é a única solução da EDO verificando y 0 = 1 e y ' 0 = 2 . Portanto a alternativa é verdadeira.

Passo 3

Alternativa (b):

Ela diz: “O real 3 é raiz simples da equação característica associada.”

A equação característica é

r 2 - 6 r + 9 = 0   r - 3 r - 3 = 0

Podemos ver que 3 é uma raiz dupla, e não simples, da equação, portanto a alternativa é falsa.

Passo 4

Alternativa (c):

Vimos no passo 2 que a única função solução da EDO verificando verificando y 0 = 1 e y ' 0 = 2 é a da alternativa (a). Portanto essa alternativa é falsa.

Passo 5

Alternativa (d):

Ela afirma que “a função y t = t ( e t + e 3 t ) é solução de ( E ) ”. Nós achamos a forma geral de solução da EDO, que é

y ( t ) = c 1 e 3 t + c 2 t e 3 t

A função não se encaixa na forma que achamos (tem um termo e t ), então a alternativa (d) é falsa.

E a alternativa (e) também está errada porque vimos que a (a) está certa.

Resposta

Alternativa (a)

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