( a ) Utilize o item ( b ) do exercício anterior para determinar todas as soluções fatoradas não nulas da equação do calor satisfazendo as condições de fronteira para o problema

ED ∂ t u = k   ∂ x 2 u , 0 ≤ x ≤ L , t ≥ 0 ;

CF u ( 0 , t ) = 0 , ∂ x u ( L , t ) = 0 , t ≥ 0 ;

CI u ( x , 0 ) = f ( x ) , 0 ≤ x ≤ L .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos a seguinte equação diferencial (ED)

∂ t u = k   ∂ x 2 u , 0 ≤ x ≤ L , t ≥ 0 ;

com as condições de fronteira (CF)

u ( 0 , t ) = 0 , ∂ x u ( L , t ) = 0 , t ≥ 0 ;

e condições iniciais (CI)

CI u ( x , 0 ) = f ( x ) , 0 ≤ x ≤ L .

Para resolvermos esse problema precisamos usar separação de variáveis. Mas onde o item ( b ) da questão anterior entra em questão? No último exercício devíamos resolver a equação diferencial

X ' ' ( x ) - λ X ( x ) = 0

com as condições de contorno

X ( 0 ) = 0 , X ' ( L ) = 0

note que essas são as mesmas condições de fronteira de nosso problema! Lá, encontramos que λ < 0 para termos uma solução não-nula para a equação diferencial! Isso irá afetar diretamente a nossa resolução! Neste problema encontramos que

X n ( x ) = C n s e n ( ( 2 n + 1 ) π 2 L   x )

em que λ = ( 2 n + 1 ) π 2 L . Vamos tentar resolver esse problema! Vem comigo!

Passo 2

O método de separação de variáveis é tal que

u ( x , t ) = ϕ ( x ) ψ ( t )

acima temos uma sugestão de solução, e agora, precisamos obter ϕ ( x ) e ψ ( t ) que obedeça a equação diferencial e as condições de contorno! Aplicando em nossa equação diferencial temos que

ϕ ( x ) ∂ t ψ ( t ) = k   ∂ x 2 [ ϕ ( x ) ] ψ ( t )

Separando as variáveis, obtemos duas equações

1 k   ψ ( t ) ∂ t ψ ( t ) = - λ = 1 ϕ ( x ) ∂ x 2 ϕ ( x )

note que eu coloquei um sinal negativo? Isso é a aplicação do resultado da questão anterior! Sobre as condições de contorno dada, a solução de

∂ 2 x ϕ ( x ) + λ ϕ ( x ) = 0

é não nula! Também vamos precisar resolver a equação

∂ t ψ ( t ) = - k λ ψ ( t )

Vamos resolver ambas ao longo dos passos!

Passo 3

A solução da primeira equação diferencial sob estas condições de contorno é dada por

X n ( x ) = C n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L x ]

como demonstramos no exercício 34b, mas também vale a pena dar uma olhadinha na seção de equação de calor aqui no site do Responde Aí, belezinha? A segunda equação diferencial tem soluções da forma

ψ ( t ) = K 1 e - k λ   t

em que usando λ n = ( 2 n + 1 ) π 2 L , como na questão anterior, temos as soluções da forma

ψ n ( t ) = K n e - ( 2 n + 1 ) π 2 L   t

Você pode obter essa solução resolvendo a Equação diferencial ordinária separável. Sendo assim, temos infinitas soluções dadas por

u n ( x , t ) = A n e - ( 2 n + 1 ) π 2 L   t s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

a solução geral é então uma combinação linear de todas as soluções acima, temos que

u ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ A n e - ( 2 n + 1 ) π 2 L   t s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Até já!

Resposta

u ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ A n e - ( 2 n + 1 ) π 2 L   t s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

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