( d ) Você conseguiria resolver o problema se f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ d n s e n [ ( n + 1 / 2 ) π L   x ] ?

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos a seguinte equação diferencial (ED)

∂ t u = k   ∂ x 2 u , 0 ≤ x ≤ L , t ≥ 0 ;

com as condições de fronteira (CF)

u ( 0 , t ) = 0 , ∂ x u ( L , t ) = 0 , t ≥ 0 ;

e condições iniciais (CI)

CI u ( x , 0 ) = f ( x ) , 0 ≤ x ≤ L .

na última alternativa encontramos a seguinte solução

u ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ A n e - ( 2 n + 1 ) π 2 L   t s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

em que as condições iniciais indicam que

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ A n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 L   x ]

essa alternativa faz o questionamento, será que é possível resolver a questão se

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ d n   s e n [ ( n + 1 / 2 ) π L   x ]

Aqui não teremos cálculos, mas apenas uma breve discussão! Saca só!

Passo 2

Usando a nossa solução e a função dada, temos que

∑ n = 0 ∞ d n s e n [ ( n + 1 / 2 ) π L x ] = ∑ n = 0 ∞ A n s e n [ ( n + 1 / 2 ) π L x ]

os dois lados são idênticos, e só podemos afirmar que d n = A n . Mas não há método de estabelecer um formato para os parâmetros d n sem que uma distribuição mais específica seja dada. Note que para g ( x ) = u ( x , 0 ) , poderíamos identificar os coeficientes d n como

d n = 2 L ∫ 0 ∞ g ( x )   s e n ( m π L x )

em que m = ( n + 1 2 ) , estes são os coeficientes de seno da série de Fourier. A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

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