Passo 1

a)

Para determinarmos a região do plano onde podemos garantir que a equação possui soluções únicas temos que garantir que f   e   ∂ f / ∂ x sejam funções contínuas nessa região, sendo que f é definida por.

f t , x = a x 5 6 b - B t 3 2

Consequentemente ∂ f / ∂ x será.

∂ f ∂ x = 5 6 a x 1 6 b - B t 3 2

Passo 2

Nesse exercício nós vamos ter que analisar dois casos: B = 0   e   B > 0 . Vamos analisar esses casos porque se B = 0 teremos somente uma constante no denominador e no outro caso teremos uma função. Vamos analisar o primeiro caso.

Caso B = 0 :

Nesse caso as nossas funções ficaram da seguinte forma.

f t , x = a x 5 6 b 3 2

∂ f ∂ x = 5 6 a x 1 6 b 3 2

Vamos analisar a continuidade delas agora. A primeira função vai ser continua em todo o plano t x e na segunda temos que o denominador não pode ser igual a zero e, para isso, x > 0 . Logo a nossa região será.

t , x ∈ R 2 ; x > 0

Passo 3

Caso B > 0 :

Nesse caso teremos as funções igual escrevemos no passo 1.

Vamos analisar a primeira função. Nós temos uma função de t que estará no denominador e dentro de uma raiz, para que f seja continua temos que.

b - B t > 0

t > b B

Analisando a segunda função nós percebemos que temos o mesmo problema da função de t que analisamos logo acima e agora também temos x 1 6 no denominador que vai fazer com que x > 0 . Logo a nossa região será

t , x ∈ R 2 ; t > b B ; x > 0

Passo 4

b)

Agora a questão pede para acharmos as soluções da EDO. Vamos resolver essa equação separável, mas para isso vamos analisar os dois casos que escrevemos no item anterior justamente porque o fato de B ser igual ou não a zero vai mudar bastante a nossa solução.

Caso B = 0 :

d x a x 5 6 = d t b 3 2

x - 5 6 a d x = d t b 3 2

Vamos integrar os dois lados da equação.

∫ x - 5 6 a d x = 6 a x 1 6

∫ d t b 3 2 = t b 3 2

Passo 5

Igualando as duas integrais e somando uma constante de integração D

6 a x 1 6 = t b 3 2 + D

6 b 3 2 x 1 6 = a t + D b 3 2  

Chamando D b 3 2 = C e elevando a equação à 6ª potência.

x = a t + C 6 6 6 b 9

Passo 6

Caso B > 0

A nossa equação separável ficará da seguinte forma.

d x a x 5 6 = d t ( b - B t ) 3 2

Integrando os dois lados da equação.

∫ x - 5 6 a d x = 6 a x 1 6

∫ d t ( b - B t ) 3 2 = 2 B 1 ( b - B t ) 1 2

Passo 7

Igualando as duas integrais e somando uma constante de integração D .

6 a x 1 6 = 2 B 1 ( b - B t ) 1 2 + D

x 1 6 = a 3 B b - B t 1 2 + D a 6

Chamando D a 6 = C e elevando os dois lados da equação à 6ª potencia.

x = a 3 B b - B t 1 2 + C 6

Resposta

  1. Quando B = 0
  2. t , x ∈ R 2 ; x > 0

    Quando B > 0

    t , x ∈ R 2 ; t > b B ; x > 0

  3. Quando B = 0

x = a t + C 6 6 6 b 9

Quando B > 0

x = a 3 B b - B t 1 2 + C 6

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