Indique qual das afirmativas abaixo é verdadeira.

(a) a equação y ' + x y = 0 não admite soluções constantes.

(b) toda solução da equação y ' = 1 + e y é uma função crescente.

(c) todas as outras afirmativas são falsas.

(d) a equação y ' + y = sen ⁡ y é linear

(e) a equação y ' = x + y é separável.

Passo 1

Não tem jeito, temos que testar as alternativas uma por uma!

Alternativa (a):

Antes de sair resolvendo a EDO, podemos tentar achar um contraexemplo, nesse uma solução constante do tipo y = k .

y ' + x y = 0    

⇒     k ' + x k = 0

⇒     0 + x k = 0

Podemos ver que k = 0 , ou seja, y = 0 , é uma solução constante da EDO!

Portanto, essa alternativa é falsa.

Passo 2

Alternativa (b):

Aqui novamente, não precisamos resolver a EDO! Ele quer saber se as funções solução da equação são crescentes. E como a gente sabe dizer se uma função é crescente? Se sua derivada é positiva! E justamente, ele deu a derivada:

y ' = 1 + e y

Temos 1 > 0 e e y > 0   ⇒     y ' > 0

Ou seja, qualquer função solução é crescente, e a alternativa é verdadeira.

Passo 3

Alternativa (c):

Falsa, acabamos de ver que a alternativa (b) é verdadeira

Passo 4

Alternativa (d):

Uma equação é dita linear se pode ser escrita da forma:

y ' + A x y = B ( x )

E aqui temos

y ' + y = sen ⁡ y

que não é linear pois do lado direito está uma função de y , e não de x .

Portanto, a alternativa é falsa.

Passo 5

Alternativa (e):

Uma equação é separável se podemos escrevê-la na forma:

y ' = f x . g ( y )

E a equação dada é

y ' = x + y ,

uma soma e não um produto de funções.

Então a alternativa (e) também é falsa.

Resposta

Alternativa (b)

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