A equação separável

d y d x = x ( y 2 + y - 2 )

Admite duas soluções constantes iguais a y 1 x = 1 e y 2 x = 2 . Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu uma equação diferencial e perguntou se ele admite soluções constantes iguais a 1 e a 2 . Bom para que uma função, seja ela constante ou não, seja solução de uma equação diferencial, precisamos substituir essa solução na equação e encontrar uma igualdade.

Tranquilo?

Passo 2

A ideia aqui é substituir cada uma das soluções propostas na equação e verificar se encontramos uma igualdade matemática, tipo 0 = 0 , ou n ú m e r o = n ú m e r o . Beleza?

Começando por y x = 1 .

Temos que a equação é:

d y d x = x ( y 2 + y - 2 )

E daí a solução proposta

y x = 1

E sua derivada (derivada de constante é zero):

y ' = 0

Agora é só substituir na equação diferencial:

0 = x ( 1 2 + 1 - 2 )

0 = x . 0 = 0

Então temos que a primeira solução proposta é sim solução, pois achamos uma verdade matemática.

Passo 3

Agora a segunda solução:

y x = 2

A derivada:

y ' = 0

Vamos substituir na equação:

d y d x = x ( y 2 + y - 2 )

0 = x ( 2 2 + 2 - 2 )

0 = x 4 + 2 - 2 = x 6 - 2 = 4 x

0 = 4 x

Poxa vida, encontramos uma expressão que só é verdadeira se x = 0 , mas isso não podemos afirmar! Então essa solução y 2 x = 2 não é solução da nossa equação diferencial.

Belezinha? Sendo assim podemos dizer que o enunciado é falso

Resposta

f a l s o

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