Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial

a ) d y d x + 2 y = f x ,   y 0 = 0 ,   o n d e   f x = 1 ,     s e   0 ≤ x ≤ 3 0 ,                                   s e   x > 3  

Passo 1

Oi, tudo bem por aí? Essa questão parece ser complicada, mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Bora lá? Precisamos resolver esse problema de valor inicial

d y d x + 2 y = f x ,   y 0 = 0 ,   o n d e   f x = 1 ,     s e   0 ≤ x ≤ 3 0 ,                                   s e   x > 3

Um dos termos é uma função que é definida por partes! E agora, como fazer?

A ideia aqui é resolver em duas partes: uma para cada etapa da f ( x ) . Iremos encontrar duas soluções: cada uma será válida no mesmo intervalo de validade da f ( x ) . Mas e qual é o mistério aqui?

Está justamente no valor inicial!

O valor inicial dado foi

y 0 = 0

Que abrange apenas a primeira parte da função, quando temos x = 0 no intervalo de definição. Mas precisamos que a solução da segunda etapa também tenha uma condição inicial, e agora?

y ( 3 ) ! Isso porque em x = 3 a função f ( x ) troca de cara!

Isso mesmo! Essa vai ser a condição inicial da solução da segunda etapa da equação diferencial, quando usando a segunda parte da função f ( x ) !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?

Passo 2

Nossa equação é essa aqui

d y d x + 2 y = f x ,   y 0 = 0

E a função f ( x ) é definida por partes assim

f x = 1 ,     s e   0 ≤ x ≤ 3 0 ,                                   s e   x > 3

Vamos começar resolvendo essa equação quando f x = 1 , válido quando 0 ≤ x ≤ 3 :

d y d x + 2 y = 1

Nosso instinto é sempre de tentar separar para um lado só x e para um lado só y , e é isso que vamos fazer

d y d x = 1 - 2 y

d y 1 - 2 y = d x

Oba! Conseguimos! Agora é só integrar dos dois lados!

Assim temos

∫ d y 1 - 2 y = ∫ d x

Do lado esquerdo vamos chamar u = 1 - 2 y , assim d u = - 2 d y . Já do lado direito é só integrar! Não esquece de colocar ' + c ' nessa hora ok?

- 1 2 ∫ d u u = x + c

Aí temos

- 1 ln ⁡ u = 2 x + 2 c

ln ⁡ u - 1 = 2 x + 2 c

E lembrando que e 2 c = C é uma outra constante, podemos apenas colocar C

u - 1 = e 2 x + 2 c = C e 2 x = 1 - 2 y - 1

Tudo bem até aqui? Agora vamos aplicar a condição inicial para achar a constante C :

y 0 = 0

Assim

C e 0 = 1 - 2.0 - 1

C = 1

Beleza?

Agora nossa solução particular ficou assim

C e 2 x = 1 - 2 y - 1

1 . e 2 x = 1 - 2 y - 1

1 - 2 y = e - 2 x

E manipulando para que ela fique mais bonitinha:

- 2 y = e - 2 x - 1

y x = 1 2 1 - e - 2 x

Ufa! Encontramos a solução associada à primeira parte da definição de f x ! Essa solução é válida para

0 ≤ x ≤ 3

Que é o mesmo intervalo de definição da f x = 1 . Beleza?

Passo 3

Agora antes de seguir resolvendo a segunda parte, precisamos encontrar qual é a condição inicial dessa segunda etapa!

Sabemos que a solução até x = 3 é essa aqui

y x = 1 2 1 - e - 2 x

Encontrada no passo anterior, então o valor que a solução assume no final do intervalo é o valor inicial da segunda solução!

y 3 = 1 2 1 - e - 6

Beleza? Agora vamos resolver essa segunda equação diferencial, e no final aplicar essa condição inicial!

Nossa função é

f x = 0 ,   x > 3

E assim a equação diferencial fica

d y d x + 2 y = f x = 0

Vamos usar o mesmo método: variáveis separáveis!

d y d x = - 2 y

d y y = - 2 d x → ∫ d y y = ∫ - 2 d x

ln ⁡ y = - 2 x + c

y = e - 2 x + c = C e - 2 x

Assim a solução dessa segunda parte fica assim

y x = C e - 2 x

E por fim, vamos descobrir qual é essa segunda constante! Temos a condição inicial (dessa etapa)

y 3 = 1 2 1 - e - 6

E aplicando na solução temos

y 3 = C e - 6 = 1 2 1 - e - 6

C = e 6 2 ( 1 - e - 6 )

C = e 6 - 1 2

E nossa solução particular para x > 3 fica assim

y x = 1 2 e 6 - 1 e - 2 x

Ufa! Agora sim terminamos! A ideia de usar uma função definida por partes em uma equação diferencial é essa: no extremo final de um intervalo vamos encontrar a condição inicial do próximo. Caso a f ( x ) fosse divida em mais uma etapa, estaríamos agora encontrando a condição inicial associada a esse próximo intervalo

Recapitulando nossas respostas! A solução é

y x = 1 2 1 - e - 2 x ,   p a r a     0 ≤ x ≤ 3 y x = 1 2 e 6 - 1 e - 2 x ,   p a r a       x > 3

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = 1 2 1 - e - 2 x ,   p a r a     0 ≤ x ≤ 3 y x = 1 2 e 6 - 1 e - 2 x ,   p a r a       x > 3

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De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F = m g R 2 x + R 2 onde x
y ' = x 2 y (a) Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial. Imprima-o e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial.(b) R
Resolva a equação diferencial x y ' = y + x e y x usando a mudança de variáveis v = y x .
Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du