Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

c ) y ' + 3 x 2 y = x 2

Passo 1

E aí, tudo bem? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

y ' + 3 x 2 y = x 2

Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos (até agora):

  • Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar! (tenta você mesmo! Vai ver que dá)
  • Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui

y ' + P x y = Q ( x )

Você vai ver que das duas formar é possível resolver! Eu aqui vou usar o primeiro método, mas você pode tentar pelo segundo e encontrar a mesma solução!

Depois de achar a solução ainda precisamos ver o maior intervalo em que ela é válida! Lembrando que aqui você precisa tirar do intervalo valores de x que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de variáveis separáveis, precisamos jogar tudo que tem x para um lado e tudo que tem y do outro e integrar! Nossa edo é

y ' + 3 x 2 y = x 2

Vamos começar rescrevendo y ' por d y d x

d y d x + 3 x 2 y = x 2

E como tem x 2 dos dois lados, vou agrupar esse termo em um lado só da equação

d y d x = x 2 - 3 x 2 y

E agora colocar em evidência

d y d x = x 2 ( 1 - 3 y )

E passar tudo que tem x para o lado direito e tudo que tem y para o esquerdo

d y 1 - 3 y = x 2 d x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que separamos as variáveis, vamos integrar!

Do passo anterior

d y 1 - 3 y = x 2 d x

Integrando temos

∫ d y 1 - 3 y = ∫ x 2 d x

Do lado esquerdo vamos usar a técnica da substituição simples, chamando

u = 1 - 3 y

d u = - 3 d y → d y = - 1 3 d u

E do lado direito é só integrar a potência. Daí temos

- 1 3 ∫ 1 u d u = x 3 3 + c

- 1 3 ln ⁡ u = x 3 3 + c

Lembrando que multiplicar c por uma constante, ela vira outra constante! Mas por simplicidade, vamos sempre escrever c . Isso não se aplica quando multiplicamos c por uma função! Tipo x ou e x e tal... beleza?

Aí nossa solução fica assim

- 1 3 ln ⁡ u = x 3 3 + c

Multiplicando por - 3

ln ⁡ u = - x 3 + c

E isolando u

u = e - x 3 + c = e c . e - x 3 = C e - x 3

Pronto? Ainda não! Precisamos retornar para y !

u = 1 - 3 y

Então

1 - 3 y = C e - x 3

- 3 y = C e - x 3 - 1

y = C e - x 3 + 1 3

E o intervalo de validade? Como temos uma exponencial como solução, e ela é válida para qualquer valor de x , então nosso maior intervalo possível é

I = ( - ∞ , + ∞ )

E é isso! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

y = C e - x 3 + 1 3

I = ( - ∞ , + ∞ )

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Resolva o problema de valor inicial y ' = s e n x s e n y, y 0 = π 2, e trace a solução (se seu SCA fizer gráficos implícitos).
Uma esfera com raio de 1m está a uma temperatura de 15° C . Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2m e temperatura de 25° C . A temperatura T r a uma distância r do centro comum das du